【CF856D】Masha and Cactus-树形DP+LCA+树状数组

测试地址：Masha and Cactus
题目大意： 给定一棵树，再给定$m$条边，每条边有权值，从里面选出一些边加入树中，使得形成的图是仙人掌，即每个点至多处在一个环中的图，并使得加入的边的权值和最大，求出这个最大值。
做法： 本题需要用到树形DP+LCA+树状数组。
首先转化一下问题。不难想到，添加一条边会使得树上的一条路径上的点被一个环覆盖，那么要使一个点至多在一个环中，也就是要求添加的边所对应的路径不相交。那么问题就转化为，从$m$条路径中选出若干不相交的路径，使得它们的权值和最大。
不难想到用树形DP选择此题。令$f(v)$为以$v$为根子树的答案，那么$v$要么不被覆盖，这种情况答案就是它所有儿子的$f$值之和，要么$v$就被某条路径覆盖，而因为我们要算的是以$v$为根子树的答案，所以我们只需考虑LCA为$v$的路径即可。这样的话每条路径会在其两个端点的LCA处被处理，直接在DP前预处理出来即可。在选择了某一条路径后，要使得答案最大，就是要求在子树中把该路径所有点删掉，剩下的所有子树都达到最大，也就是求子树中和这条路径直接相邻的点的$f$值之和。
怎么求这个东西呢？画一画图可以观察到，对路径上每个点，我们把它所有儿子的$f$值之和累计，那么最后多算出来的贡献就是除了点$v$，其余在路径上的点的$f$值之和，我们把这个多算的部分减去就行了。再稍微调整一下式子，令$s(v)$为点$v$所有儿子的$f$值之和，减去点$v$的$f$值，并令当前路径为$(x,y)$，那么答案就可以表示为，点$v$的所有儿子$f$值之和，加上$v$到$x$路径上所有点的$s$值之和（不包括点$v$），再加上$v$到$y$路径上所有点的$s$值之和（不包括点$v$）。这样我们其实就是求这样一个问题：每个点有点权，询问这一点到某点$v$的路径上的点权和。因为DP的过程就是自下而上的，因此每当我们处理完一个点$v$，它的点权就会为它子树中所有点的贡献增加$s(v)$，在DFS序上就是一个区间加、单点询问的问题，显然差分后用树状数组处理即可，那么我们就解决了这一题，时间复杂度为$O(n\log n)$。
以下是本人代码：

#include 
using namespace std;
int n,m,fa[200010][20]={0},dep[200010],first[200010]={0},tot=0;
int in[200010],out[200010],tim=0,a[200010],b[200010],val[200010];
int sum[200010]={0},f[200010];
vector<int> p[200010];
struct edge
{
	int v,next;
}e[200010];

void insert(int a,int b)
{
	e[++tot].v=b;
	e[tot].next=first[a];
	first[a]=tot;
}

void dfs(int v)
{
	in[v]=++tim;
	for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
	{
		dep[e[i].v]=dep[v]+1;
		dfs(e[i].v);
	}
	out[v]=tim;
}

int lca(int a,int b)
{
	if (dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
	for(int i=18;i>=0;i--)
		if (dep[fa[a][i]]>=dep[b])
			a=fa[a][i];
	if (a==b) return a;
	for(int i=18;i>=0;i--)
		if (fa[a][i]!=fa[b][i])
			a=fa[a][i],b=fa[b][i];
	return fa[a][0];
}

int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}

void add(int x,int c)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		sum[i]+=c;
}

int calc_sum(int x)
{
	int ans=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
		ans+=sum[i];
	return ans;
}

void dp(int v)
{
	int downsum=0;
	for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
	{
		dp(e[i].v);
		downsum+=f[e[i].v];
	}
	f[v]=downsum;
	for(int i=0;i<p[v].size();i++)
	{
		int x=a[p[v][i]],y=b[p[v][i]],V=val[p[v][i]];
		f[v]=max(f[v],downsum+calc_sum(in[x])+calc_sum(in[y])+V);
	}
	add(in[v],downsum-f[v]);
	add(out[v]+1,f[v]-downsum);
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&fa[i][0]);
		insert(fa[i][0],i);
	}
	dep[0]=-1,dep[1]=0;
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=18;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&val[i]);
		p[lca(a[i],b[i])].push_back(i);
	}
	
	dp(1);
	printf("%d",f[1]);
	
	return 0;
}