动态树（Link-Cut-Tree）结构与实现简讲

下面分析一下LCT的构建和应用（要用到splay，不会的建议先学splay）：
首先先了解LCT的用处：支持一系列树的操作，如合并，分裂，换根，查询节点数，判断是否在一棵树里，判断深度，甚至还可以当LCA用；下面讲讲做法：
要学LCT首先要清楚几个概念：轻重边，重儿子，辅助树，以及一系列东西，，，我在文中不会用这些名词，，尽量通俗易懂的讲。
动态树（LCT）的一系列操作无非就是依赖于几个基本操作：换根（makeroot（）），access（将某个节点到其根节点的路径变为重路径，或者说把这条路径用splay维护起来），splay（将某个节点转到所在splay的根），，嗯，大致就是这些。
现在讲一下这些操作的具体实现：

1、 首先是最重要的access，它几乎是所有操作的基础，它的作用是用splay将某个节点到根节点的路径维护起来。具体实现我们可以看一下代码：

void access(int o,int x=0) { 
    for(;o;o=fa[x=o]) splay(o),rc(o)=x; 
}

其实非常短，当然是压行之后，我们来看看压行之前

void access(int o) {
    int x=0;
    while(o!=0) {
      splay(o);
      rc(o)=x;
      x=o;
      o=fa[o]
    }
}

这几行代码就是全部操作了，我们先来看一下代码中的一些用法，在我的代码中，原树的根节点的父亲是0，所有的空儿子也是0，也就是说0代表一个空的节点，它没有实际意义，只是用来防止越界的。再来介绍一下splay的意义，splay维护的是某一条链，它以该节点在原树中的深度为关键字，也就是说某个节点的左子树中的节点都比该节点的深度下，而右子树中的所有节点都比该节点的深度大；在splay中，节点的父节点仅代表它在splay中的父节点，而splay中根的父节点是该splay中深度最小的点在原树中的父节点（也可以说是该条链的父节点）；
在该函数中，fa[o]是o的父节点，while(o!=0)的意思是说o节点当前还在某棵splay中，没有到达空节点，而o一旦访问到空节点，就说明我们已经将节点到根的路径都访问完了，access也就可以结束了。splay（o）是将o节点伸展到该splay的根，这时断开o的右子树（即将原链中的比它深度大的节点扔掉）（rc（o）是o节点的右儿子），并将使x成为它的右子树，而x记得是上一棵访问的splay的根，相当于将节点o到根的路径上的每段splay都合并起来（不理解的可以画图一步一步的模拟一下）。

2、 然后是splay操作，该操作与splay树没有太大差别，但是要注意标记的下传（如下文要讲的翻转标记re[]），以前打splay时都是自顶向下寻找节点是进行标记的下传，但是LCT的所有操作都是自底向上的，所以在splay（o）时要将fa[o]与o都进行下传，如果是双旋的话，就要传三个标记，fa[fa[o]],fa[o],和o都要更新。所以splay还有一个作用就是更新标记，所以一定要在刚进入函数时就markdown一下，因为有些节点已经是splay的根节点了，但是仍旧要进行标记的下传。
还有需要注意的是rorate中要进行特判：

if(!isroot(f)) ch[fa[f]][is(f)]=o;

这句话很重要！如果节点o的父亲是该splay的根的话，那么就不能将节点o的祖父的孩子设成o，因为左右孩子记录的都是节点在splay中的信息，而显然如果o的父亲是splay的根节点，那么o的祖父与o不再一棵splay中，那么o祖父的孩子信息就不能修改。但是父亲的信息显然是可以修改的，因为旋转后o为splay的根节点，他的父节点就应该是上一棵splay，所以当然可以修改啦。

下面是代码：

void rorate(int o) {
    int f=fa[o],d=is(o),c=ch[o][d^1];
    if(!isroot(f)) ch[fa[f]][is(f)]=o; fa[o]=fa[f];
    if(c) fa[c]=f; ch[f][d]=c;
    fa[f]=o;ch[o][d^1]=f;
}
void splay(int o) {
    if(o==0) return;
    markdown(fa[o]);markdown(o);
    while(!isroot(o)) {
      markdown(fa[fa[o]]);markdown(fa[o]);markdown(o);
      if(isroot(fa[o])) rorate(o);
      else if(is(o)==is(fa[o])) rorate(fa[o]),rorate(o);
      else rorate(o),rorate(o);
    } return;
}

isroot（）的作用是判断该节点是否为splay的根，is（）用来判断该节点是其父亲的左孩子还是右孩子；
代码：

int is(int o) { return rc(fa[o])==o; }
int isroot(int o) { return !fa[o]||(lc(fa[o])!=o&&rc(fa[o])!=o); }

3、接下来是换根操作（makeroot（o）），该操作的作用是将节点o变成整棵树的根，所以要先进行一次access（o），将其与根节点置与一棵splay中，然后splay（o）将o转至splay的根，这时由于节点o是该条路径中的深度最深的点，那么在splay中将o转至根后该棵splay中的其他节点就都在该节点的左子树中，然后在该节点打一个翻转标记，将splay翻转，这样其他所有节点就都在o的右子树中了，这样o节点变成了该splay中深度最小的节点，当然就是根了；
代码如下：

void makeroot(int o) {
    access(o);splay(o);re[o]^=1;
}

4、下面是LCT中的link和cut操作，也算是LCT的特色了；
link（u，v）操作就是将u节点与v节点相连，所以我们将u变成u所在树的根节点makeroot（u），然后将fa[u]=v即可。注意不可修改其他父子关系，，原因与上文rorate中的原因类似。
cut（u，v）是将u，v间的边断开，所以先将u变成根makeroot（u），由于u，v相连，那么此时在原树中v到根的路径必然只包含两个点u，v，所以access（v）就得到了一棵只包含u，v的splay，然后将v转至根节点splay（v），lc（v）=0，fa[u]=0即可；
代码如下：

void link(int a,int b) {
    makeroot(a);fa[a]=b;
}
void cut(int a,int b) {
    makeroot(a);access(b);splay(b);
    lc(b)=0;fa[a]=0;
}

LCT中重要的操作就是这几个，其他的操作都可以由此变化实现，如前面提的查询节点数，在操作中维护一个变量size即可，而求LCA的操作则也可以实现，如：
LCA（u，v）：

1、先access（u），splay（u），查看一下v所在splay的根是否为u，如果是的话，那么LCA（u，v）=v；
2、然后access（v），此时再splay（v），查询一下u所在splay中的根节点为是否为v，如果是的话那么LCA（u，v）=u；
3、否则的话splay（u），LCA（u，v）=fa[u];
这个结论是很显然的，如果u,v的LCA是他们中的某一个的话，那么假设LCA（u，v）=u，那么u一定在v到根节点的路径上，在第二步时，access（v）以后u就与v在一棵子树中，所以LCA（u，v）=u，所以第二个步骤成立。第一步同理。
考虑第二种情况，如果LCA（u，v）=t，那么在前两步执行完后，u在splay的根的父节点一定在v所在的splay中，且splay（u）后，fa[u]==LCA（u，v）；证毕。
最后希望大家注意几个问题，有助于理解，一是LCT与其他树结构不同，是自底向上构建与更新的，码代码时要考虑周全；还有就是要分清LCT中原树的父子关系与splay中的父子关系，，在实现时的要注意关系的变换。那些概念我没有将，网上应该能查到很多，我就不赘述了。 还有就是在一开始建树时不必想链剖那样先遍历一遍，，将所有链都维护，，可以将所有的节点当作一棵独立的splay，在用到某个节点时再将节点到根的路径上的splay连起来即可。。

以上就是我要讲的全部内容了，以后可能会有补充，这是今天学完LCT后的一些理解，可能有些地方考虑不全，比如代码有bug或者时间复杂度太高之类的，，，有意见尽管评论，，我一定尽快回复。
如果想看模板的话，可以看我的另一篇博客那里面有LCT的模板，是结合题目的，，希望有所帮助。

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