【BJOI 2014】总结

今天做了一下范浩强出的题目。

题目难度大致是2、3、1吧。

第二题：大融合

题目大意：给出一堆点，支持动态加边，保证加边后是一棵树，求任意时刻某一条边所在的联通块，有多少条简单路径经过这一条边。

显然这一条边被通过的次数，等于切掉这一条边后，两个联通块的点数乘积。实际上如果我们将这棵树变成有根树的话，就是较深点的子树大小，乘上总点数减去这颗子树大小。

设Size[i] 为以i为根的子树大小，可以用 LCT 维护这个值。（实际上合并两个联通块，值变化的只有接入点到根路径上的点的size值）

但是既然只会改变点到根路径上的size值，那么就可以考虑用更简单的版本，链剖就可以了。

更新时，就从接入点开始，直到当前这棵子树的根，全部加上另一棵子树大小这么大的值。快速地知道当前这一棵子树的根可以用“规定方向的并查集”。【一开始忘记了写路径压缩TLE了Orz】

这一道题很灵活地运用了树链剖分，算是一道好题吧。

第三题：路径

题目大意：给出一幅无向图，每个点上有一个符号或者数字，求走k步形成多少个合法表达式。

点数只有20个点，看起来是可以dp的。

设F[i][j][Len]表示起点为i，终点为j，走了k步，当前形成是一个没有前缀负号的表达式，对应的，g[i][j][Len]表示有前缀负号的表达式。

那么分三种情况讨论：1）在前面加一个负号，2）在左右加一对括号，3）用一个运算符把两个f值或g值并为一个

1、2还好处理，但是3处理起来会T。当时没时间想下去了，现在想了一下，应该这样是可以做的。

设g[i][j][Len]表示有前缀的+、×、/，h[i][j][Len]表示有前缀负号。那么3就转化成了两步：1）在一个f前面串上一个+、×或/号。 2）在一个有前缀符号的块前串上一个数。

这样子的话3的复杂度就降下来了。

还有另一种做法，设f[i][j][k][l]表示当前做到第i步，在第j个点上，左括号比右括号多k个，l表示最后一个数是否为单独的0。直接dp也是可以的，要注意的是考虑全面，列举一下可以和不可以的情况。

第一题：想法

题目大意：给出一堆集合，每次新建一个集合，由出现过的两个集合并成，问当前这个新集合有多少个元素。

神题！

正解是超神的概率算法。

首先给初始的集合一个[0, 1]区间内的权值，每一次合并两个集合，保留前T个数。

由于权值是随机的，假如这个新的集合包含k个数，那么第T个数期望是T/k。而我们保留的得到的第T个数是P的话，那么我们可以认为P=T/K，移项可以得到K=T/P。

然后重复做若干次，取平均值就可以了。

这样容许误差的题目很显然就是运用概率算法的，而利用随机数平均分布的性质可以有很大的帮助。

但是这样的概率算法也一定程度上依赖多次取平均。

这一次的比赛的教训就是拍得要全面吧。第二题我只拍了小数据，但是极限数据、特殊数据都没拍，结果全跪了，分别超时4个点和爆栈1个点。呵呵。

【拍。】