子字符串查找之确定有限状态自动机 KMP

暴力子字符串查找
显示回退写法

int i, j;
for(i=0, j=0; i<N && j<M; i++){
	if(txt.charAt(j) == pat.charAt(i))  j++;
	else						{i -= j; j = 0;}
}
if(j == M) return i-j;
else 		return N;

• 暴力子字符串查找时间复杂度为O(~NM)，一般在O(N)左右。

确定有限状态自动机
1 基本思想是当出现不匹配时，就能知晓一部分文本的内容，它们就是模式字符串的前 j-1 个字符；
2 原理就是不用回退文本指针，只要回退模式指针，这可以通过确定有限状态自动机或前缀函数实现，既dfa数组和next数组；dfa数组是指在比较了（i）和（j）之后应该和（i+1）比较的模式字符位置；
（关于KMP next数组可见：https://blog.csdn.net/c_lutch/article/details/96730048 ）

 j = dfa[txt.charAt(i)][j]
 X = dfa[par.charAt(j)][X]

3 现在重点是要理解怎么构造DFA

• DFA的构造也是利用了dfa；
  1）首先，所有模式一开始复制的是都状态 0，因为假设你有个字符串txt：AAAA，你要从里面找ABAB，那你每次匹配失败都只要从B开始比，就是 j 只要回退到1，因为我第0位肯定是A嘛，所以有：dfa[c][j] = dfa[c][X]
  2）当匹配时会继续比较下一个字符，所以有：dfa[pat(j)][j] = j+1
  3 ）其实X的更新其实是对模式自身重叠的查找。如果字符串自身重叠，就是自身和自身的开头匹配，会继续比较下一个字符，所以有：if(pat(X) == pat(q)) X++；但神奇的一步在于，X的更新可以利用已经构造好的dfa，所以有： X = dfa[pat(q)][X]
  这样，X的更新使得复制的状态不断后移，X指向X+1，j+1 复制的是X+1的模式。这样当对字符串txt 匹配失败时，但字符串如果对patternX状态匹配成功，因为复制的是X模式，所以会使 j 回退到 X 状态，使它和X状态匹配成功时的指向一样。
  比如 pattern：ABAC，和txt：ABAB匹配时在dfa[][3]处失败，但因为dfa[][3]复制的是dfa[][1]的状态，所以dfa[B][3]和dfa[B][1]一样，都是指向2；

4 然后是查找过程，这就是前面的显示回退写法

int i, j;
for(i=0, j=0; i<N && j<M; i++)
	j = dfa[txt.charAt(i)][j];
if(j == M) return i-M;
else	 	return N;

完整代码

dfa[pat.charAt(0)][0] = 1;
for(int i=1X=0; i<M; i++){
	for(int c=0; c<R; c++)
		dfa[c][i] = dfa[c][X];
	dfa[pat.charAt(i)][i] = i+1;
	X = dfa[pat.charAt(i)][X];
}
int i, j;
for(i=0, j=0; i<N && j<M; i++)
	j = dfa[txt.charAt(i)][j];
if(j == M) return i-M;
else	 	return N;

• 完整代码结构是dfa…for for c, dfa, X…for…if return

KMP子字符串查找
显示回退写法

int i, j;
for(i=0, j=0; i<N && j<M; i++){
	if(j = -1 || pat.charAt(j) == txt.charAt(i))  j++;
	else		{i--; j = next[j];}
}
if(j == M) return i-j;
else 		return -1;

在《算法》里，KMP其实是用了显示回退写法，显示回退写法其实能更好的理解next数组与自动机的区别。自动机在匹配失败时 i 是继续前进的，next数组则需要继续在第 i 位比较，共同点就是他们都没有回退 i 。再来看教课书的写法：

int i = 0, j = 0;
while(i<N && j<M){
	if (j == -1 || pat.charAt(j) == txt.charAt(i))	{i++; j++;}
	else		j = next[j];
}
if (j == m)	return i - j;
else		return -1;

教科书里的写法其实也类似显示回退写法的，只不过把 i 的自增放入了循环体内。

最后，KMP适合查找自我重复性的模式字符串，例如111111。
KMP时间复杂度O(M+N)，先遍历模式字符串为M，遍历文本字符串为N。