「JLOI2016 / SHOI2016」成绩比较
传送门
problem
数据范围： n ≤ 100 n\le100 n≤100， m ≤ 100 m\le100 m≤100， u i ≤ 1 0 9 u_i\le10^9 ui≤109。
solution
我总是想不到这种计数类问题。。。
令 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] 表示在前 i i i 门课，被B神碾压的同学数为 j j j 的方案数，那么有转移方程：
f [ i ] [ j ] = ∑ k = j n f [ i − 1 ] [ k ] ( k k − j ) ( n − k − 1 r i − 1 − ( k − j ) ) d i f[i][j]=\sum_{k=j}^nf[i-1][k]\binom k {k-j}\binom {n-k-1}{r_i-1-(k-j)}d_i f[i][j]=k=j∑nf[i−1][k](k−jk)(ri−1−(k−j)n−k−1)di
其中 d i d_i di 表示在第 i i i 门课上分配成绩的方案数，我们先不管它。
这个转移的意思就是，由于被碾压的人数从 k k k 减为了 j j j，说明就要从这 k k k 个人中选出 ( k − j ) (k-j) (k−j) 个人成绩比B神高；又由于本身有 ( r i − 1 ) (r_i-1) (ri−1) 个人成绩比B神高，所以要从剩下的 ( n − k − 1 ) (n-k-1) (n−k−1) 个人中选 r i − 1 − ( k − j ) r_i-1-(k-j) ri−1−(k−j) 个。
现在考虑计算 d i d_i di，我们可以直接枚举B神的分数，也就是：
d i = ∑ j = 1 u i j n − r i ( u i − j ) r i − 1 d_i=\sum_{j=1}^{u_i}j^{n-r_i}(u_i-j)^{r_i-1} di=j=1∑uijn−ri(ui−j)ri−1
但是 u i u_i ui 是 1 0 9 10^9 109 级别的，直接枚举显然不可行。其实可以把 d i d_i di 看做是关于 u i u_i ui 的多项式，然么根据自然数幂和的结论，这个多项式的次数是不超过 r i r_i ri 的（也就是不超过 n n n 的），我们可以暴力算出 ( n + 1 ) (n+1) (n+1) 个点值然后拉格朗日插值即可。
时间复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)。
code
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