算法学习：插值型求积公式
算法学习：插值型求积公式
牛顿-柯斯特(Newton-Cotes)求积公式
定义
牛顿-柯斯特(Newton-Cotes)求积公式是插值型求积公式的特殊形式
在插值求积公式
∫baf(x)dx≈∫baP(x)dx=∑k=0nAkf(xk) ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∫ a b P ( x ) d x = ∑ k = 0 n A k f ( x k )
中所取节点是等距时称为牛顿-柯斯特公式
其中插值多项式
P(x)=∑k=0nℓk(x)f(xk) P ( x ) = ∑ k = 0 n ℓ k ( x ) f ( x k )
求积系数
Ak=∫baℓk(x)dx A k = ∫ a b ℓ k ( x ) d x
这里 ℓk(x) ℓ k ( x ) 指的是插值基函数，即有
Ak=∫baℓk(x)dx=∫ba∏j=0,j≠knx−xjxk−xjdx A k = ∫ a b ℓ k ( x ) d x = ∫ a b ∏ j = 0 , j ≠ k n x − x j x k − x j d x
推导
在 [a,b] [ a , b ] 区间内设置等距的插值基点 a=x0<x1⋯<xn=b a = x 0 < x 1 ⋯ < x n = b ，设节点步长为 h=b−an,xk=a+kh,k∈{0,1,⋯,n} h = b − a n , x k = a + k h , k ∈ { 0 , 1 , ⋯ , n }
积分作变量替换 x=a+th x = a + t h
xk−xj=(k−j)h,x−xj=(t−j)h,dx=hdt x k − x j = ( k − j ) h , x − x j = ( t − j ) h , d x = h d t
(xk−x0)⋯(xk−xk−1)(xk−xk+1)⋯(xk−xn) ( x k − x 0 ) ⋯ ( x k − x k − 1 ) ( x k − x k + 1 ) ⋯ ( x k − x n )
=k(k−1)⋯1(−1)(−2)⋯(−(n−k))hn=(−1)n−kk!(n−k)!hn = k ( k − 1 ) ⋯ 1 ( − 1 ) ( − 2 ) ⋯ ( − ( n − k ) ) h n = ( − 1 ) n − k k ! ( n − k ) ! h n
(x−x0)⋯(x−xk−1)(x−xk+1)⋯(x−xn) ( x − x 0 ) ⋯ ( x − x k − 1 ) ( x − x k + 1 ) ⋯ ( x − x n )
=t(t−1)⋯(t−k+1)(t−k−1)⋯(t−n)hn = t ( t − 1 ) ⋯ ( t − k + 1 ) ( t − k − 1 ) ⋯ ( t − n ) h n
当 x=a x = a 时， t=0 t = 0 ，当 x=b x = b 时， t=n t = n
于是有 Ak=∫baℓk(x)dx=h∫n0t(t−1)⋯(t−k+1)(t−k−1)⋯(t−n)(−1)n−kk!(n−k)!dt A k = ∫ a b ℓ k ( x ) d x = h ∫ 0 n t ( t − 1 ) ⋯ ( t − k + 1 ) ( t − k − 1 ) ⋯ ( t − n ) ( − 1 ) n − k k ! ( n − k ) ! d t
=h⋅(−1)n−kk!(n−k)!∫n0t(t−1)⋯(t−k+1)(t−k−1)⋯(t−n)dt = h ⋅ ( − 1 ) n − k k ! ( n − k ) ! ∫ 0 n t ( t − 1 ) ⋯ ( t − k + 1 ) ( t − k − 1 ) ⋯ ( t − n ) d t
=nh⋅(−1)n−kk!(n−k)!n∫n0t(t−1)⋯(t−k+1)(t−k−1)⋯(t−n)dt = n h ⋅ ( − 1 ) n − k k ! ( n − k ) ! n ∫ 0 n t ( t − 1 ) ⋯ ( t − k + 1 ) ( t − k − 1 ) ⋯ ( t − n ) d t
=(b−a)⋅(−1)n−kk!(n−k)!n∫n0t(t−1)⋯(t−k+1)(t−k−1)⋯(t−n)dt = ( b − a ) ⋅ ( − 1 ) n − k k ! ( n − k ) ! n ∫ 0 n t ( t − 1 ) ⋯ ( t − k + 1 ) ( t − k − 1 ) ⋯ ( t − n ) d t
=(b−a)⋅(−1)n−kk!(n−k)!n∫n0∏j=0,j≠kn(t−j)dt = ( b − a ) ⋅ ( − 1 ) n − k k ! ( n − k ) ! n ∫ 0 n ∏ j = 0 , j ≠ k n ( t − j ) d t
不难发现，式子中的 (−1)n−kk!(n−k)!n∫n0∏j=0,j≠kn(t−j)dt ( − 1 ) n − k k ! ( n − k ) ! n ∫ 0 n ∏ j = 0 , j ≠ k n ( t − j ) d t 与步长h无关，所以可以预处理。我们将上述表达式称之为柯斯特求积系数，记为
c(n)k=(−1)n−kk!(n−k)!n∫n0∏j=0,j≠kn(t−j)dt c k ( n ) = ( − 1 ) n − k k ! ( n − k ) ! n ∫ 0 n ∏ j = 0 , j ≠ k n ( t − j ) d t
那么我们的求积系数
Ak=(b−a)c(n)k A k = ( b − a ) c k ( n )
于是求得牛顿-柯斯特公式
∫baf(x)dx≈(b−a)∑k=0nc(n)kf(xk) ∫ a b f ( x ) d x ≈ ( b − a ) ∑ k = 0 n c k ( n ) f ( x k )
上面你就当我装了一波逼，其实闷声背公式也是可以滴
公式应用：梯形公式
梯形公式
我们将上述式子令n=1，得到柯斯特系数
c(1)0=−∫10(t−1)dt=12 c 0 ( 1 ) = − ∫ 0 1 ( t − 1 ) d t = 1 2
c(1)1=−∫10tdt=12 c 1 ( 1 ) = − ∫ 0 1 t d t = 1 2
于是得到梯形公式
I1(f)=(b−a)12f(a)+f(b−a)12f(b) I 1 ( f ) = ( b − a ) 1 2 f ( a ) + f ( b − a ) 1 2 f ( b )
梯形公式具有一次代数精确度（就是没什么卵用）
辛普森积分
辛普森积分在立体几何中的公式应用
在立体几何中，辛普森积分用来计算拟柱体体积公式
公式内容
设拟柱体的高（两底面 α,β α , β 间的距离）为H，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面 γ γ 与平面 α α 之间距离h的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V为
V=H(S1+4S2+S3)6 V = H ( S 1 + 4 S 2 + S 3 ) 6
式中， S1 S 1 和 S2 S 2 是两底面的面积， S0 S 0 是中截面的面积
公式证明
V=∫f(x)dx V = ∫ f ( x ) d x
=ah44+bh33+ch22+dh = a h 4 4 + b h 3 3 + c h 2 2 + d h
利用公式计算体积，可以得到：
V=H(S1+4S2+S3)6 V = H ( S 1 + 4 S 2 + S 3 ) 6
=h(f(0)+4f(h2)+f(h))/6 = h ( f ( 0 ) + 4 f ( h 2 ) + f ( h ) ) / 6
=16h[d+4(ah38+bh24+ch2+d)+(ah3+bh2+ch+d)] = 1 6 h [ d + 4 ( a h 3 8 + b h 2 4 + c h 2 + d ) + ( a h 3 + b h 2 + c h + d ) ]
=ah44+bh33+ch22+dh = a h 4 4 + b h 3 3 + c h 2 2 + d h
于是原命题得证
辛普森积分拟合目标函数
根据牛顿-柯斯特求积公式，令n=2，带入得到柯斯特系数
c(2)0=14∫20(t−1)(t−2)dt=16 c 0 ( 2 ) = 1 4 ∫ 0 2 ( t − 1 ) ( t − 2 ) d t = 1 6
c(2)1=−12∫20t(t−2)dt=46 c 1 ( 2 ) = − 1 2 ∫ 0 2 t ( t − 2 ) d t = 4 6
c(2)2=14∫20t(t−1)dt=16 c 2 ( 2 ) = 1 4 ∫ 0 2 t ( t − 1 ) d t = 1 6
于是有
I2(f)=(b−a)(16f(a)+46f(a+b2)+16f(b)) I 2 ( f ) = ( b − a ) ( 1 6 f ( a ) + 4 6 f ( a + b 2 ) + 1 6 f ( b ) )
=16(b−a)(f(a)+4f(a+b2)+f(b)) = 1 6 ( b − a ) ( f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) )
这就是辛普森积分公式，说明了辛普森积分公式就是牛顿-柯斯特求积公式的特殊情况。
辛普森积分具有良好的稳定性与收敛性，在数值逼近领域有很重要的应用。
自适应辛普森积分算法
引例
bzoj2178圆的面积并
算法流程
辛普森积分不论具有多么优秀的稳定性与收敛性，在大数据范围内仍会出现较大误差。因此自适应辛普森积分算法是辛普森积分的衍生算法。其基本步骤如下
- 对于区间[l,r]上的函数求出其辛普森积分的答案ans
- 分别求出区间[l,m],[m,r]两个子区间的辛普森积分的答案之和ret
- 若ans和ret的误差范围不超过eps，返回ret的值，否则递归左右子区间。
在对于圆滑曲线的近似积分中，自适应辛普森积分具有非常优秀的表现。
引例分析
对于平面上的圆的面积并，我们首先排除内含的所有圆，然后建立函数模型f(a)表示在圆所覆盖直线x=a的线段长度。那么就有
ans=∫xmaxxminf(x) a n s = ∫ x m i n x m a x f ( x )
函数无法直接求出，于是我们采用自适应辛普森积分法即可。
(ps：这题卡精度，小心为妙)
代码
/**************************************************************
Problem: 2178
User: 2014lvzelong
Language: C++
Result: Accepted
Time:4412 ms
Memory:1340 kb
****************************************************************/
#include小结
对于插值型求积公式，在信息学中主要应用自适应辛普森积分算法。此算法的优点在于好写易懂，并有一定的精确度。但是对于某些“二分精度”题，还是小心为妙。