DSP数的表示：定点小数Q 格式表示和加法

DSP数的表示：定点小数Q 格式表示和加法

本文翻译自https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/fixed-point-representation-the-q-format-and-addition-examples/

定点表示是的我们可以在低开销的整数硬件上使用小数运算。本文首先介绍小数表示方法Q格式，然后给一些定点加法的例子。

在低开销DSP上表示小数

为了降低开销，很多数字信号处理器都设计成只能进行整数算术运算。为了在这些处理器上表示小数，我们可以使用隐含小数点。
例如，8bit字 a=010101102 a = 01010110 2 ，单被当做整数时表示 8610 86 1 0 。然而，我们可以假设存在一个隐含的小数点，并把该数理解为一个小数。假设小数点在第4和第5个bit之间，例如， a=0101.01102 a = 0101.0110 2 。我们可以通过以下公式得到该数等价的十进制的值：
a=0×23+1×22+0×21+1×20+0×2−1+1×2−2+1×2−3+0×2−4=5.375 a = 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 0 × 2 − 1 + 1 × 2 − 2 + 1 × 2 − 3 + 0 × 2 − 4 = 5.375
在这个例子中，我们用4bit表示整数部分，4bit表示小数部分。
从这个例子我们可以看到，小数点右边第一个bit的系数为0.5，第二个为0.25，以此类推。需要注意这个隐含的小数点并没有在硬件上表达，程序猿需要假设一个合适的缩放因子来正确的解释计算结果。在上面的例子中，硬件上只存储8bit数 a=010101102 a = 01010110 2 。如果程序员想要用a表示5.375，就需要记住使用a进行的任何运算结果，都需要乘以一个缩放因子 2−4 2 − 4 。

Q格式

小数点位置不同，同一个二进制数可以表示不同的值。为了编程方便，我们通常在同一算法中使用固定的小数点位置。Q格式是用来表达一个二进制数中整数、小数分别有多少bit的一种表示格式。例如，我们用3bit表述整数部分，4bit表示小数部分，则这个数的格式为Q3.4格式。

对于一个字长固定的处理器，另一种可行的表示格式是只表示小数部分。例如，当我们使用一个字长为16bit的处理器的时候，我们可以简单是说我们是使用Q15格式来表示小数。这里的Q15表示小数点右边有15bit，左边有1bit。同时Q15也等效于Q1.15。

小数点位置选择

小数点位置的选取需要考虑两个方面：

• 算法中需要表示的最大值
• 可允许最大的量化噪声

第一个方面决定了整数部分需要的bit数，第二个方面决定了小数部分的bit数。
需要注意的是，除了隐含的缩放因子，Q格式的小数与计算机上整数的表示没有任何区别。我们也可以使用Q格式来表示二进制补码。

Q格式举例

例一
假设算法需要用到浮点数 a=9.21695743609119810 a = 9.216957436091198 10 。现在该值在浮点表示时算法表现良好。假设我们要用16bit字长的定点硬件来实现该算法，最合适的表示a的Q格式是什么？

因为a的整数部分在8和16之间，因此我们至少需要4bit来表示整数部分。假设我们使用有符号数，那么符号位需要占用以为，即小数点左边有5bit。因此我们使用Q5.11格式。
改格式表示的数的缩放因子为 2−11 2 − 11 。也就是说Q5.11形式表示的a对应的去掉小数点后的值等于Q5.11表示的数乘以 211 2 11 。因此，为了将a表示为Q5.11格式，我们先将a乘以 211 2 11 ，对其四舍五入到最接近的整数，然后在将四舍五入结果转换为二进制：
a×211=18876.3288≈18876=100100110111100(2) a × 2 11 = 18876.3288 ≈ 18876 = 100 1001 1011 1100 ( 2 )
因为a是正数，因此符号位为0，a的Q5.11格式表示为01001.00110111100。对于负数，我们需要首先找到其绝对值的Q格式表示，然后转换为二进制补码，再加上符号位。
例二
假设 a=10.012 a = 10.01 2 为Q2.2格式的有符号数，其对应的十进制整数是什么？

因为是有符号数，所以十进制数为-1乘以a的二进制补码对应的十进制数。a的二进制补码为 01.112 01.11 2 。因此 a=−1.7510 a = − 1.75 10 。

符号扩展

在做有符号数加法的时候，加数与被加数长度可能不同，这是，我们需要将较短的数进行符号位扩展。
例如，将 10112 1011 2 扩展两位，得到 1110112 111011 2 。对于正数来说，符号位为0，符号扩展即填零，这不会改变数的大小。
对于负数来说，在补码表示中，一个负数是依据一个互补的常数定义的。kbit的数，这个互补常数为 M=2k M = 2 k 。
对于一个4bit的数，互补常数为 M=24 M = 2 4 ，这时，一个4bit正数b对应的负数-b可以表示为M-b。下面解释如何用6bit表示这个4bit有符号数。
对于6bit数，互补常数为 M′=26 M ′ = 2 6 ，-b可以表示为 M′−b M ′ − b 。因此，-b的6bit表示和4bit表示的差为：
(M′−b)−(M−b)=M′−M=26−24=01100002 ( M ′ − b ) − ( M − b ) = M ′ − M = 2 6 − 2 4 = 0110000 2 。这就表示，为了用6bit表示一个4bit有符号负数，我们只需要在4bit表示上加上 01100002 0110000 2 ，也就是将符号位扩展两位。通过符号位扩展，我们只改变了负数的互补常量，负数本身并没有变。

Q格式加法

对Q格式两个数相加时，首先需要完成小数点对其和符号位扩展。
例三
计算a+b，其中a=-1.25（补码表示为 10.112 10.11 2 ），b=+3.25（补码表示为 011.0102 011.010 2 ）。

a和b分别为Q2.2和Q3.3格式。首先需要进行小数点对其，然后将整数部分较短的数进行符号位扩展，最后再进行运算：

110+0111010.11.010.000−1.25+3.25+2 1 1 0 . 1 1 − 1.25 + 0 1 1 . 0 1 0 + 3.25 1 0 1 0 . 0 0 0 + 2

除了隐含的缩放因子，以上加法和整数补码加法一样。因为补码运算是模M运算。因此我们需要将符号位左边的数都忽略掉。因此 a+b=010.0002=+210 a + b = 010.000 2 = + 2 10 。这里需要注意在运算前进行符号位扩展。
在使用定点数运算的时候，我们需要格外小心相应Q格式表示数的范围，防止溢出。
例如，假设a使用Qna.ma格式，b使用Qnb.mb格式。如果使用与上面类似的过程计算，设符号扩展后的结果为Qnc.mc格式，则nc=maximum{na,nb}，mc=maximum{ma,mb}。这个时候结果是有可能溢出的。因为Nbit数相加可能会得到(N+1)bit的结果。如果使用Qnc.mc格式表示结果，就需要程序员自己能够确定结果不会溢出。
解决溢出问题的方法有两种：

• 将两个输入缩放
• 使用Q(n+1).m格式的输出可以保证两个Qn.m格式的数相加不会溢出，这时候需要将两个输入在计算的时候也需要同时符号扩展一位。

使用保护位（guard bit）防止溢出

很多数字信号处理器的累加器的输出寄存器通常比输入数据宽几位。这些多出来的数据位叫做保护位（guard bit）。这些保护位可以保证程序员在做累加的时候不会溢出。n个保护位可以保证进行 2n 2 n 次累加不会溢出。

保护位也不是可以无限制添加的，因此累加器的累加次数的有限制的。因此在计算的时候，我们有时候需要对结果进行四舍五入和截断来得到一个较短的数。多次累加后，结果数值范围会变大，为了表示更大的值，需要使用更多的bit来表示整数部分，也就是说我们可能需要改变小数点位置。

总结

• 定点数可以用来表示小数。
• 为了降低实现开销，很多数字信号处理器只支持整数运算。为了在这些处理器中使用小数，需要引入隐含小数点。
• 如果使用n bit来表示整数部分，m bit来表示小数部分，那么这种表示叫做Qn.m格式。
• 做两个有符号数加法的时候，两个数可能长度不同。这是需要将较短的数进行符号位扩展。
• 做两个Q格式数加法的时候，需要遵循如下步骤：对其小数点；对较短的整数部分的数进行符号位扩展；进行加法运算。
• 当使用定点数来做算法实现的时候，必须注意所使用的Q格式能够表示的数的范围。