微积分(三)——常微分方程

前言

本笔记不涉及基础知识，重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多，不定时更新。且为了提高效率，用表线性梳理的形式代替思维导图，望谅解。

如有缺漏错误，欢迎补充指正！

常微分方程

常微分方程这一章出题的角度和思路十分的清晰，我认为难点在应用题，考查微积分的思想以及一些物理部分的内容，还容易和空间解析几何的内容联系起来。

（一）计算

重点考查对几种特定常微分方程的求解方法，以及对高阶线性方程解的结构的掌握。

1）求微分方程的解

分为直接可以套用公式的题和需要使用技巧的题。

直接套用公式包括：

• 一阶常系数线性微分方程
• 二阶常系数齐次微分方程
• 二阶常系数非齐次微方程

技巧包括：

• 可分离变量的微分方程（包括一阶和高阶微分方程）
• 可化为可分离变量的微分方程(包括常见的$\frac{x}{y}$和$\frac{ax+by+c}{dx+ey+f}$形式)
• 不显式含y的高阶微分方程
• 不显式含x的高阶微分方程
• 未知函数和自变量互换
• 简单适当的变量代换

2）由微分方程求特解形式

掌握高阶常系数微分方程的解的结构便可

3）由微分方程的解求微分方程的通解

高阶常系数线性微分方程解的结构有以下关系

• 非齐次特解 - 非齐次特解 = 齐次通解
• 非齐次特解 + 齐次通解 = 非齐次特解
• 非齐次方程通解 = 非齐次方程对应的齐次方程的通解 + 非齐次方程特解
• 齐次方程通解 = 齐次方程两个线性无关的特解的线性组合

4）由微分方程的解求微分方程

当微分方程为常系数线性微分方程时

• 尝试求齐次方程的解，并求得特征方程
• 得到微分方程的齐次方程
• 将最简单的非齐次方程的解带入非齐次方程，得到f(x),并得到要求的微分方程

当微分方程为线性微分方程时

• 求得带任意常数的通解y
• 求导得到$y^{{}^{\prime }}$和 $y^{{}^{\prime \prime }}$
• 利用这三个方程消去常数C1，C2，便得到微分方程。

（二）微分方程综合题

微分方程综合题的步骤

• 联系其它微积分知识，构造微分方程
• 构造的微分方程一定是可解的，如果是非常系数或非线性，首先考虑构造的微分方程是否正确
• 解微分方程，求f(x)。

1）与定积分联系

含定积分的方程，求f(x)。

• 此类问题考查定积分的变量代换
• 变限积分的求导
• 最后得到微分方程

2）与极限联系

不含定积分的方程，求f(x)

• 考虑极限的定义，由极限构造出一阶微分方程

3）与全微分联系

全微分方程，求f(x)

• 在f(x)有连续一阶导的情况下，考虑全微分的充分必要条件，得到微分方程

4）与高阶导数联系

含有高阶导数的方程，求变换自变量后的方程，求f(x)

• 如果要求变换自变量，按照链式法则，变换自变量。
• 求解高阶导数，得到微分方程。

（三）微分方程应用题

1）与曲线相关的应用

根据要求，应该只会涉及二维直角坐标系、旋转体和某些立体体积，以及曲线的第一类弧长积分。出题角度也离不开解析几何中的量，比如截距、法线、切线等等。
频繁出现的几点

• 曲边梯形，以及曲边梯形的旋转体

2）与物理相关的应用（难点）

与物理相关的应用，一般涉及领域广泛，物理领域包括引力、压力、功、质心、形心等。在这一部分我还过于生疏，缺乏练习。除了要温习几个物理量外，还要掌握微元法，这是解题的核心，即在适当的部分使用微元法，建立微分方程求解。
在解题中需要注意的几点

• 只有一个自变量，一个因变量，自变量多数是t(时间)。
• 使用微元法可利用现有公式，也可以自己列方程。
• 方程一定是上述可解方程。
• 注意dx的正负