微积分(三)——常微分方程

文章目录

    • 前言
    • 常微分方程
      • (一)计算
        • 1)求微分方程的解
        • 2)由微分方程求特解形式
        • 3)由微分方程的解求微分方程的通解
        • 4)由微分方程的解求微分方程
      • (二)微分方程综合题
        • 1)与定积分联系
        • 2)与极限联系
        • 3)与全微分联系
        • 4)与高阶导数联系
      • (三)微分方程应用题
        • 1)与曲线相关的应用
        • 2)与物理相关的应用(难点)

前言

本笔记不涉及基础知识,重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多,不定时更新。且为了提高效率,用表线性梳理的形式代替思维导图,望谅解。

如有缺漏错误,欢迎补充指正!

常微分方程

常微分方程这一章出题的角度和思路十分的清晰,我认为难点在应用题,考查微积分的思想以及一些物理部分的内容,还容易和空间解析几何的内容联系起来。

(一)计算

重点考查对几种特定常微分方程的求解方法,以及对高阶线性方程解的结构的掌握。

1)求微分方程的解

分为直接可以套用公式的题和需要使用技巧的题。

直接套用公式包括:

  • 一阶常系数线性微分方程
  • 二阶常系数齐次微分方程
  • 二阶常系数非齐次微方程

技巧包括:

  • 可分离变量的微分方程(包括一阶和高阶微分方程)
  • 可化为可分离变量的微分方程(包括常见的 x y \frac{x}{y} yx a x + b y + c d x + e y + f \frac{ax+by+c}{dx+ey+f} dx+ey+fax+by+c形式)
  • 不显式含y的高阶微分方程
  • 不显式含x的高阶微分方程
  • 未知函数和自变量互换
  • 简单适当的变量代换

2)由微分方程求特解形式

掌握高阶常系数微分方程的解的结构便可

3)由微分方程的解求微分方程的通解

高阶常系数线性微分方程解的结构有以下关系

  • 非齐次特解 - 非齐次特解 = 齐次通解
  • 非齐次特解 + 齐次通解 = 非齐次特解
  • 非齐次方程通解 = 非齐次方程对应的齐次方程的通解 + 非齐次方程特解
  • 齐次方程通解 = 齐次方程两个线性无关的特解的线性组合

4)由微分方程的解求微分方程

当微分方程为常系数线性微分方程时

  • 尝试求齐次方程的解,并求得特征方程
  • 得到微分方程的齐次方程
  • 将最简单的非齐次方程的解带入非齐次方程,得到f(x),并得到要求的微分方程

当微分方程为线性微分方程时

  • 求得带任意常数的通解y
  • 求导得到 y ′ y^{'} y y ′ ′ y^{''} y
  • 利用这三个方程消去常数C1,C2,便得到微分方程。

(二)微分方程综合题

微分方程综合题的步骤

  • 联系其它微积分知识,构造微分方程
  • 构造的微分方程一定是可解的,如果是非常系数非线性,首先考虑构造的微分方程是否正确
  • 解微分方程,求f(x)。

1)与定积分联系

含定积分的方程,求f(x)。

  • 此类问题考查定积分的变量代换
  • 变限积分的求导
  • 最后得到微分方程

2)与极限联系

不含定积分的方程,求f(x)

  • 考虑极限的定义,由极限构造出一阶微分方程

3)与全微分联系

全微分方程,求f(x)

  • 在f(x)有连续一阶导的情况下,考虑全微分的充分必要条件,得到微分方程

4)与高阶导数联系

含有高阶导数的方程,求变换自变量后的方程,求f(x)

  • 如果要求变换自变量,按照链式法则,变换自变量。
  • 求解高阶导数,得到微分方程。

(三)微分方程应用题

1)与曲线相关的应用

根据要求,应该只会涉及二维直角坐标系、旋转体和某些立体体积,以及曲线的第一类弧长积分。出题角度也离不开解析几何中的量,比如截距、法线、切线等等。
频繁出现的几点

  • 曲边梯形,以及曲边梯形的旋转体

2)与物理相关的应用(难点)

与物理相关的应用,一般涉及领域广泛,物理领域包括引力、压力、功、质心、形心等。在这一部分我还过于生疏,缺乏练习。除了要温习几个物理量外,还要掌握微元法,这是解题的核心,即在适当的部分使用微元法,建立微分方程求解。
在解题中需要注意的几点

  • 只有一个自变量,一个因变量,自变量多数是t(时间)。
  • 使用微元法可利用现有公式,也可以自己列方程。
  • 方程一定是上述可解方程。
  • 注意dx的正负

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