数据结构与算法——AVL树的学习与java实现
二叉平衡树
二叉平衡树又叫做AVL树，它继承了二叉搜索树的规则。
且每个节点的左子树和右子树的高度差最多差1。
二叉平衡树由于不会产生像二叉搜索树那样的极端情况，所以查找，删除(懒惰删除)的时间复杂度为o(logn)。插入操作需要对树作出调整，所以时间复杂度略高于o(logn)。
如下图所示：第一张图为AVL树，第二张图则不是AVL树
AVL树的旋转
插入操作需要满足AVL树的特性：每个节点的左子树和右子树的高度差最多差1。 把必须重新平衡的节点叫作a。由于任意结点最多有两个儿子，因此高度不平衡时，a点的两棵子树的高度差2。将会出现以下四种不平衡的情况：
1.对a的左儿子的左子树进行一次插入。
2.对a的左儿子的右子树进行一次插入。
3.对a的右儿子的左子树进行一次插入。
4.对a的右儿子的右子树进行一次插入。
对于1、4两种情况可以通过单旋转达到平衡条件。对于2、3两种情况可以通过双旋转达到平衡条件。
右旋转的步骤：【左旋转类似】
- 建一个新节点，值等于当前节点的值、
- 把新节点的右子树设置为当前结点的右子树
- 新节点的左子树设置为当前结点的左子树的右子树
- 当前结点的值换为左子树节点的值
- 把当前结点的左子树设置为左子树的 左子树
- 把当前结点的右子树设置为新节点
旋转过程图解：
AVL树的具体实现
核心代码实现：
/**
* 获取左子树的高度
* @return
*/
public int leftHeight() {
if(left==null) {
return 0;
}
return left.height();
}
/**
* 获取右子树的高度
* @param node
*/
public int rightHeight() {
if(right==null) {
return 0;
}
return right.height();
}
/*
* 向子树中添加节点
*/
public void add(Node node) {
// TODO Auto-generated method stub
if(node==null) {
return;
}
//判断传入的节点的值比当前子树的根节点的值是大是小
//添加的节点比当前结点更小
if(node.value<this.value) {
//如果左节点为空
if(this.left==null) {
this.left=node;
//如果不为空
}else {
this.left.add(node);
}
//右子树
}else {
if(this.right==null) {
this.right=node;
//如果不为空
}else {
this.right.add(node);
}
}
//查找是否平衡
//检查左子树和右子树的高度
//进行右旋转
if(leftHeight()-rightHeight()>=2) {
//双旋转
if(left!=null&&left.leftHeight()<left.rightHeight()) {
//先左旋转
left.leftRotate();
//再右旋转
RightRotate();
//单旋转
}else {
RightRotate();
}
//左旋转
}
if(leftHeight()-rightHeight()<=-2) {
//双旋转
if(right!=null&&right.rightHeight()<right.leftHeight()) {
right.leftRotate();
leftRotate();
//单
}else {
leftRotate();
}
}
}
/**
* 左旋转
*/
private void leftRotate() {
Node newLeft=new Node(value);
newLeft.left=left;
newLeft.right=right.left;
value=right.value;
right=right.right;
left=newLeft;
}
/**
* 右旋转
* @param node
*/
private void RightRotate() {
//创建一个新节点，值等于当前节点的值
Node newRight=new Node(value);
//把新节点的右子树设置为当前结点的右子树
newRight.right=right;
//把新节点的左子树设置为当前结点的左子树的右子树
newRight.left=left.right;
//把当前结点的值换为左子树节点的值
value=left.value;
//把当前结点的左子树设置为左子树的 左子树
left=left.left;
//把当前结点的右子树设置为新节点
right=newRight;
}
完整java代码实现：
package demo10;
public class Node {
int value;
Node left;
Node right;
public Node (int value) {
this.value=value;
}
/**
* 返回当前结点的高度
* @param node
*/
public int height() {
return Math.max(left==null?0:left.height(),right==null?0: right.height())+1;
}
/**
* 获取左子树的高度
* @return
*/
public int leftHeight() {
if(left==null) {
return 0;
}
return left.height();
}
/**
* 获取右子树的高度
* @param node
*/
public int rightHeight() {
if(right==null) {
return 0;
}
return right.height();
}
/*
* 向子树中添加节点
*/
public void add(Node node) {
// TODO Auto-generated method stub
if(node==null) {
return;
}
//判断传入的节点的值比当前子树的根节点的值是大是小
//添加的节点比当前结点更小
if(node.value<this.value) {
//如果左节点为空
if(this.left==null) {
this.left=node;
//如果不为空
}else {
this.left.add(node);
}
//右子树
}else {
if(this.right==null) {
this.right=node;
//如果不为空
}else {
this.right.add(node);
}
}
//查找是否平衡
//检查左子树和右子树的高度
//进行右旋转
if(leftHeight()-rightHeight()>=2) {
//双旋转
if(left!=null&&left.leftHeight()<left.rightHeight()) {
//先左旋转
left.leftRotate();
//再右旋转
RightRotate();
//单旋转
}else {
RightRotate();
}
//左旋转
}
if(leftHeight()-rightHeight()<=-2) {
//双旋转
if(right!=null&&right.rightHeight()<right.leftHeight()) {
right.leftRotate();
leftRotate();
//单
}else {
leftRotate();
}
}
}
/**
* 左旋转
*/
private void leftRotate() {
Node newLeft=new Node(value);
newLeft.left=left;
newLeft.right=right.left;
value=right.value;
right=right.right;
left=newLeft;
}
/**
* 右旋转
* @param node
*/
private void RightRotate() {
//创建一个新节点，值等于当前节点的值
Node newRight=new Node(value);
//把新节点的右子树设置为当前结点的右子树
newRight.right=right;
//把新节点的左子树设置为当前结点的左子树的右子树
newRight.left=left.right;
//把当前结点的值换为左子树节点的值
value=left.value;
//把当前结点的左子树设置为左子树的 左子树
left=left.left;
//把当前结点的右子树设置为新节点
right=newRight;
}
/*
* 中序遍历二叉排序,中序遍历二叉排序树结果为从小到大的顺序
*/
public void midShow(Node node) {
if(node==null) {
return;
}
midShow(node.left);
System.out.println(node.value);
midShow(node.right);
}
/**
* 查找节点
*/
public Node search(int value) {
if(this.value==value){
return this;
}else if(value<this.value){
if(left==null) {
return null;
}
return left.search(value);
}else{
if(right==null) {
return null;
}
return right.search(value);
}
}
/**
* 搜索父节点
*/
public Node searchParent(int value) {
if((this.left!=null&&this.left.value==value)||(this.right!=null&&this.right.value==value)) {
return this;
}else {
if(this.value>value&&this.left!=null) {
return this.left.searchParent(value);
}else if(this.value<value&&this.right!=null){
return this.right.searchParent(value);
}
return null;
}
}
}
package demo10;
public class BinarySortTree {
Node root;
/*
* 向二叉排序树中添加节点
*/
public void add(Node node) {
//如果是一颗空树
if(root==null) {
root=node;
}else {
root.add(node);
}
}
/*
* 中序遍历二叉排序树
*/
public void midShow() {
if(root!=null) {
root.midShow(root);
}
}
/*
* 查找节点
*/
public Node search(int value) {
if(root==null) {
return null;
}else {
return root.search(value);
}
}
/**
* 删除节点
*/
public void delete(int value) {
if(root==null) {
return;
}else {
//找到这个节点
Node target=search(value);
//如果没有这个节点
if(target==null) {
return;
}
//找到他的父节点
Node parent=searchParent(value);
//要删除的节点是叶子节点
if(target.left==null&&target.right==null) {
//要删除的节点是父节点的左子节点
if(parent.left.value==value) {
parent.left=null;
//要删除的节点是右节点
}else {
parent.right=null;
}
//要删除的节点有两个子节点
}else if(target.left!=null&&target.right!=null) {
//删除右子树中值最小的节点，取刚获取到该节点的值
int min=deleteMin(target.right);
//替换目标节点中的值
target.value=min;
//要删除的节点有一个左子节点或右字节点
}else {
if(target.left!=null) {
//
if(parent.left.value==value) {
parent.left=target.left;
//要删除的节点是右节点
}else {
parent.right=target.right;
}
//右子节点
}else {
if(parent.right.value==value) {
parent.right=target.right;
//要删除的节点是右节点
}else {
parent.right=target.right;
}
}
}
}
}
/**
* 删除一颗树中最小的值的节点
* @param right
* @return
*/
private int deleteMin(Node node) {
Node target=node;
//递归向左找
while(target.left!=null) {
target=target.left;
}
//删除最小值的这个节点
delete(target.value);
return target.value;
}
/*
* 搜索父节点
*/
public Node searchParent(int value) {
if(root==null) {
return null;
}else {
return root.searchParent(value);
}
}
}
package demo10;
public class TestBinarySortTree {
public static void main(String[] args) {
//int [] arr=new int [] {8,9,6,7,5,4};
int [] arr=new int [] {8,9,5,4,6,7};
//创建一颗二叉排序树
BinarySortTree bst=new BinarySortTree();
//循环添加
for(int i:arr) {
bst.add(new Node(i));
}
System.out.println(bst.root.height());
System.out.println(bst.root.value);
}
}
此篇文章内容参考了以下这篇文章进行学习与总结。
二叉平衡树