第四讲：一元函数微分学的概念与计算

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导数的定义

若$li{m}_{x->x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=A$（式子左右极限存在且相等），则A为函数$x_0$的导数值，也是$x_0$点切线的斜率，称函数在该$x_0$点可导。以上式子还有另一种写法$li{m}_{\Delta x->0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=A$
导数的定义可以证明很多公式，如$(uv{)}^{{}^{\prime }},(uvw{)}^{{}^{\prime }},分部积分法$等等。

微分的定义

求导的技巧

• 链式求导法则(高中知识略)
• 分段函数求导
  要特别注意在定义域分段的边界点，导数的左右极限是否相等，不相等则边界点导数不存在。
• 反函数的导数
  $y_x^{{}^{\prime }}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}=\frac{1}{x_y^{{}^{\prime }}}$
  这里写一个二阶反函数导数的证明，方便自己理解
  $$y_x^{{}^{\prime \prime }}=\frac{d(\frac{\Delta y}{\Delta x})}{\Delta x}$$
  $$=\frac{d(\frac{1}{x_y^{{}^{\prime }}})}{\Delta x}$$
  $$=\frac{d(\frac{1}{x_y^{{}^{\prime }}})}{\Delta y}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
  $$=-\frac{1}{(x_y^{{}^{\prime }}{)}^2}{x}_y^{{}^{\prime \prime }}\frac{1}{x_y^{{}^{\prime }}}$$
• 反函数求导
  对于每个y的导数，求导数时加个y’即可，比如用隐函数求导可以轻松圆锥曲线的某点的切线。
• 参数方程求导
  $$y_x^{{}^{\prime }}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y/\Delta t}{\Delta x/\Delta t}$$
• 对数求导，幂指数求导
  用对数的运算法则变形计算。
• 变限积分的求导
  对于$F(x)={\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}g(t)dt$
  $$F^{{}^{\prime }}(x)=g({\phi }_2(x)){\phi }_2^{{}^{\prime }}(x)-g({\phi }_1(x)){\phi }_1^{{}^{\prime }}(x)$$
  导函数才等于下面的式子，之前算错成原函数。这里有个运算技巧，因为常数导数得0，如果${\phi }_1(x),{\phi }_2(x)$中有常数，那么常数的那一项可以被忽略。