高数:微分中值定理&介值定理证明题浅析

引言

笔者是一名大一学生，在学习高数时发现定理应用证明题挺有意思的，下面将自己的一些的心得和笔记整理如下，与大家分享交流，因为水平有限，难免有错误和考虑不周全之处，请大家见谅。
这篇博客主要是给跟我一样的大一学生学术交流(应付期末考试)用的。

定理

介值定理

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的断电取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,
则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C　(a

不明白的同学可以去画一下图，你会发现有前面的条件在，根本就画不出f(x)不为C的情况(因为它是连续的)。
这样可以比较不严谨的初步验证它的成立。

罗尔定理

如果函数f(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导；
(3)在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξf’(ξ)=0
证明:

拉格朗日中值定理

如果函数f(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)
证明:

仔细观察，拉氏定理其实就是罗尔定理的拓展，也就是说，罗尔定理是拉氏定理的一种特殊情况，当我们把图3-2正过来的时候，是不是跟罗尔定理的那个图很像呢。

柯西中值定理

如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导；
(3)对任一x∈(a,b),F’(x)≠0，
那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式
f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f’(ξ)/F’(ξ)

这个定理怎么证的我也没有去管它，看着挺好记的我就直接记下来了hhh。
想知道怎么证明的同学------->用五种方法证明柯西中值定理

例题

这里的例题引自下述的链接中

小结

公式编辑器有点麻烦，我就直接手写了，凑合看看哈。

介值定理

用介值定理来证明时往往是一边小于０，一边大于０，中间存在一个值等于０(例题4)

拉氏（罗尔）定理常见的三种题型

(例题中的1.2对应这里的2.3)
这个辅助函数的意义是:
令f’(ξ)=0的时候能把要证的不等式凑出来，对一个其他函数求导来间接得到所求式子，(打工仔?)所以我们称它为辅助函数。
这些公式的证明建议大家对它进行求导，然后就可以轻松证明了。
没有灵感的时候我们可以直接把定理f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)写出来，把要求证的式子尽量往这个形式靠拢。
比如说第三种题型，我们观察定理左边是f(b)-f(a)，它的变量是分离开的并且两个变量共用一个法则f，因此我们会想到两边同时除去ab，从而进行求证。

柯西中值定理

常与拉氏定理一起使用。

做题顺序

一、观察式子特点
这点比较重要，如果求证式子中没有导数，则一般往介值定理的方向去想，如果存在导数且看上去只有一个法则f则有可能是拉氏(罗尔)定理，两个法则则有可能是柯西中值定理。有二次导数出现时一般要使用两次定理(例题3)。
二、猜测所用的定理
尝试对式子进行求导，变形
把可能的定理写在旁边然后往这个方向去发展(为了获得灵感）
三、动手求证
这一点有时候证明时会用到小区间存在则大区间也存在的性质，有时候会用(例题3)
还有如果题目分一、二小题时请不要忘记使用第一小题证明的结论(例题4)。

引用材料

考研：微分中值定理的证明题汇总
高数微分中值定理(四大定理)
这个拿去练练手吧~(无答案):　与微分中值定理有关的证明题

写在后面

2020年就要到了，在这里我祝大家考的全会，蒙的全对，还有就是新的一年请继续努力吧！