牛顿迭代法及最小二乘法

1、牛顿迭代法

牛顿迭代法法是一种计算近似根算法，对于给定的复杂函数f(x)，常用来求该函数在给定初始值x0附近的近似根。该算法很简单，就是一个迭代的过程：

迭代终止条件可设为：

matlab代码实现：

function y=mulNewton(a,n,x0,eps1)
    x(1)=x0;
    b=1;
    i=1;
    while(norm(b)>eps1)   %%迭代终止条件  公式（2）
        i=i+1;
        x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1));   %%公式（1）
        b=x(i)-x(i-1);
    end
    y=x(i);
    i
end
 
 
 
function y=n_f(a,n,x)%方程的函数
    y=0.0;
    for i=1:n+1
        y=y+a(i)*x^(n-i+1);
    end
end
 
 
 
function y=n_df(a,n,x)%方程一阶导数的函数
    y=0.0;
    for i=1:n
        y=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i);
    end
end

2、最小二乘法

概念

最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点，并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。

原理

     给定数据点pi(xi，yi)，其中i=1，2，…，m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1，2，...，m。 

 

偏差平方和最小原则：

  按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法，称为最小二乘法。

matlab代码实现：

注：利用MATLAB自带的最小二乘法函数ployfit()和ployval()实现。

clc;
x=[0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0];
y=[1.75，2.45，3.81，4.80，7.00，8.60];
p=polyfit(x，y，2)%%最小二乘法函数，解出拟合曲线系数，放到P中
x1=0.5:0.05:3.0;
y1=polyval(p，x1);%%多项式曲线求值函数，返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
plot(x，y，'*r'，x1，y1，'-b')