读后感

一门学科的历史，就是其实就是这门本身。
讲座的开始两节，龚老师首先回顾的就是数学的历史。
1900年，年仅39，但已经名声显赫的数学家希尔伯特在世纪之交的数学家大会上做了演讲，其中有一段话的大意是说，数学中真正的进展，是用更有力的工具盒更简单的方法，代替了原先陈旧的、复杂的方法。
现在看来，这真是大师级别的概括。数学的历史可以追溯到好几千年以前。那时候人们以及开始需要计数和算数了。这些内容，其实就是我们小学学的知识。又不知道过了多少年，产生了用字母代替数字的代数，这其实是我们初中学的内容。初中代数中，有两个特别重要的问题，就是多元一次方程组的求解和一元二次方程。其中多元一次方程组解起来特别麻烦，所以又有了线性代数，求解方程不过是求矩阵的逆；而有了一元二次方程求解、一元三次方程求解，以后，大批的数学都在致力于高次方程的求解高次的方程，有的方法很巧妙，有的对于特殊问题能够求解，但是不能一般化。直到伽罗瓦和阿贝尔提出了现在近世代数中的内容，才解决了什么方程是可解的，什么不可解这类问题。这才是用更有利的工具和更简单的方法替代了原来陈旧的方法。在几何中也是很明显的，初中的时候平面几何挺难的，高中时候立体几何也不容易。但是上大学以后，我就没学过几何了，这是为什么呢？因为大部分初等的几何问题，都可以通过引入坐标系，通过代数的方法来解决。计算的困难程度，是远远小于证明的，这也是巨大的进步。这关键的一步，就是费马和笛卡尔引入了坐标系的概念。（这也为以后函数，微积分埋下了伏笔）。而几何中真正的进展，来源于非欧几何，进而从非欧几何发展为黎曼几何。当时爱因斯坦研究相对论时，就是使用黎曼几何作为模型研究的。说完了代数和几何，再看另一门古老的学问，三角函数，我当时上学时特别讨厌他们，因为公式太多：和差化积，积化和差，两角和，二倍角，万能公式等等。后来听了龚老师的说法，其实只要记住欧拉公式就OK了。我试了一下，果然是这样，有一种相见恨晚的感觉。这也是用高级的、简单的方法代替初级的、复杂的方法。这是数学发展的规律。
数学发展的另一个很有意思的特点是，他不是一门“实验”科学，可以验证它。相反的例子是和数学联系紧密的物理，你提出了一套理论，必须通过实验验证这个东西对不对。数学更像是一套方法论，你没法说它对不对，只能看以后有没有人用，能否用你的理论解决实际问题。
数学发展的另一个特点是，要有伟大的成就，必须要有好的导师指点。老师举出了很多例子，比如大名鼎鼎的哥廷根学派，里面一串串各种定理中的名字。高斯、黎曼、狄利克雷，雅可比，克莱因和希尔伯特。但是很可惜，二战的到来，使得他们解散了，里面的一大批人去了美国：
这里只需列出一张从德国(包括奥地利、匈牙利)到美国避难的数学家和物理学家的部分名单，就可见人材转移之一斑了。爱因斯坦(1879～1955，伟大的物理学家)；弗兰克(J．Franck，1882～1964．1925年获诺贝尔物理学奖)；冯·诺依曼(1903～1957，杰出数学家之一)；柯朗(1888～1972，哥廷根数学研究所负责人)；哥德尔(1906～1976，数理逻辑学家)；诺特(1882～1935，抽象代数奠基人之一)；费勒(W．Feller，1906～1970，随机过程论的创始人之一)；阿廷(1896～1962，抽象代数奠基人之一)；费里德里希(K．Friedrichs，1901～1983，应用数学家)；外尔(1885～1955，杰出的数学家之一)；德恩(1878～1952，希尔伯特第3问题解决者)；此外还有波利亚、舍荀(Szeg)、海林格(Hellinger)、爱华德(Ewald)、诺尔德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格纳(Wigner)等等。
好的导师，是有远见的，他能看到现在有什么重大问题值得去解决。古往今来为了证明欧几里得第五公理的人多了去了，穷其一生也没有人知道他们的名字，这就是没有导师指点的结果。当然，大部分硕导，博导也是没有这种眼光的。不要跟他们一般计较。


总结完历史，就该言归正传说说微积分了。龚老师用了矛盾论的观点，说微积分是研究什么的，就是研究微分和积分，以及微分和积分是一对矛盾的事情。现在我才恍然大悟，为什么牛顿和莱布尼茨发明了微积分！因为他们都说了这样的观点：微分和积分是一对互逆的运算。而对应到高维空间，微积分基本公式其实就是斯托克斯公式的外微分形式，因为它也是把微分和积分当做一对矛盾来表达的。
既然是一对矛盾，他们中就会有相似的地方，比如微分中值定理与积分中值定理。再比如其积分的几种基本方法与微分的几个性质之类的。
在他们之前，微分和积分的更多的是以求瞬时速度，曲线的切线，弧长，曲边梯形的面积之类的问题出现的，而且对于一些特定的问题，已经有了一些解法，比如求x的平方曲线下面的面积，通过对x轴不等分，然后分割求和取极限，也能求出结果。但是直到微积分的出现，才是得这类问题有了统一的解法，或者说根本不成问题。
但是很可惜，当时虽然利用了微积分解决了不少问题，但是他们的基础并不牢固，尤其是无穷小量0，受到了很多人的攻击，直到柯西和weierstrass等一批数学完成了分析算术化。其中柯西给出了极限的概念，比如要多小有多小，还利用这个概念成功的推倒了微分中值定理等内容，而weierstrass，则用epson-delta语言说明了什么是极限，进而避免了无穷小量0。说是语言，表明其实还有另一种方法来解决这个问题，那就是非标准化分析，但是很可惜，这个东西虽然可以得出跟一般微积分差不多的结果，但是没有什么重大的创新，自然就慢慢没落了。
有了微积分以后，在其上面又慢慢发展了其他一些相关理论。比如常微分方程，偏微分方程、积分方程，变分法等内容。这些内容很快的应用到了工程领域，解决了一些问题，但是其实人们对于这些内容是了解的很少的。只能解决一些线性的、特殊的问题。但聊胜于无吧。而分析学本身这个领域也有很多发展，比如原先的微积分应用范围比较小，基本上只能讨论连续的函数，与之相差的不过是一个测度为；零的集合；很多定理的条件都很强；黎曼可积空间是不完备的，等等。为了解决这些问题，慢慢发展出了勒贝格积分，也就是实变函数的内容；将微积分的思想，方法扩充到复数域，形成了复变函数的内容。但实际上，那些可以简单得到的结论，并不是复变函数的主要内容，复变函数的主要工作，是那些在实数上没有的结果，大概分三个方向：一.是分析的，柯西积分公式以及后面的那一套理论；二.级数的，也就是洛朗级数那一套3.几何的理论。（抱歉我复变的书上完大学就不见，以后有空再慢慢看看）。然后是是流型上的微积分和泛函分析。不过后两个我都没学过，不敢做评价。


最后我有百度了一下，发现龚升老师已经去世了，不禁唏嘘不已。老师的视频是大约是十年前拍摄的。当时的音容笑貌宛如昨日啊。