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信号与系统频域分析（1）——傅里叶级数

        三角函数形式的傅里叶级数：在直流分量（常数项）上叠加不同频率的正弦波来近似周期函数。

      一、基本形式：

        函数f(t)的周期为T_1，角频率为\omega_1=\frac{2\pi}{T_1}，频率f_1=\frac{1}{T_1}，傅里叶级数展开表达式为：

                f(t)=a_0+a_1cos(\omega{t})+b_1sin(\omega{t})+a_2cos(2\omega{t})+b_2sin(2\omega{t})+...+a_ncos(n\omega{t})+b_nsin(2\omega{t})+... =a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(n\omega_1t)+b_nsin(n\omega_1t)]   ....(1)

        其中，n为正整数，各次谐波成分的幅度值按以下各式计算（三角函数的正交性）：

        直流分量(等式两边在一个周期上积分，数值相等，确定系数)：

                         a_0=\frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)dt

        余弦分量的幅度（等式两边同时乘以cos(n\omega{t})，然后在一个周期上积分，数值相等，确定系数）：

                         a_n=\frac{2}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)cos(n\omega_1t)dt                                     ...(3)

        正弦分量的幅度（等式两边同时乘以sin(n\omega{t})，然后在一个周期上积分，数值相等，确定系数）：

                         b_n=\frac{2}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)sin(n\omega_1t)dt                                      ...(4)

 

       二、合并形式

       将（1）中同频率项加以合并，可以写成另一种形式

                         f(t)=c_0+\sum_{n=1}^{\infty}c_ncos(n\omega_1t+\phi_n)    或   f(t)=d_0+\sum_{n=1}^{\infty}d_nsin(n\omega_1t+\theta_n)

        其中

                         a_0=c_0=d_0      c_n=d_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}   a_n=c_ncos\phi_n=d_nsin\theta_n   b_n=-c_nsin\phi_n=d_ncos\theta_n

                         tan\theta_n=\frac{a_n}{b_n}     tan\phi_n=-\frac{b_n}{a_n}

    

       三、指数形式(从三角波叠加到螺旋波叠加！！！)

       利用欧拉公式，将三角函数表达成指数形式。

       由欧拉公式 e^{j\theta}=cos\theta+jsin\theta 

       得到  cos(n\omega_1{t})=\frac{1}{2}(e^{jn\omega_1{t}}+e^{-jn\omega_1{t}})      sin(n\omega_1{t})=\frac{1}{2j}(e^{jn\omega_1{t}}-e^{-jn\omega_1{t}})

        将上式带入，可得：

        f(t)=a_0+\sum^{\infty}_{n=1}(\frac{a_n-jb_n}{2}e^{jn\omega_1t}+\frac{a_n+jb_n}{2}e^{-jn\omega_1t})

         令    F(n\omega_1)=\frac{1}{2}(a_n-jb_n)                                                          ...(9)

         考虑到a_n是n的偶函数，b_n是n的奇函数，可得

                 F(-n\omega_1)=\frac{1}{2}(a_n+jb_n)     

         将上式带入，得到：

                 f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[F(n\omega_1)e^{jn\omega_1{t}}+F(-n\omega_1)e^{-jn\omega_1{t}}]

         令F(0)=a_0，考虑到

                 \sum_{n=1}^{\infty}F(-n\omega_1)e^{-jn\omega_1{t}}=\sum_{n=-1}^{-\infty}F(n\omega_1)e^{jn\omega_1{t}}

         得到f(t)的指数形式傅里叶级数，它是：

                  f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}F(n\omega_1)e^{jn\omega_1{t}}

         将（3）（4）带入式（9）得到指数形式傅里叶级数的系数F(n\omega_1)（或简写为F_n），如下：

         (太美妙了，和谐的一匹！！！)

                 F_n=\frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_)+T_1}f(t)e^{-jn\omega_1{t}}dt

          因为F_n一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱！！！根据F_n=|F_n|e^{j\phi_n}，可以画出复数幅度谱|F_n|-\omega与复数相位谱\phi_n-\omega。

          关于负频率的讨论：负频率的出现完全是数学运算的结果，并没有任何物理意义（很多问题都是从物理意义的角度入手，最后通过抽象的数学得到纯数学量的结论，数学的魅力啊！！），只有把负频率项与相应的正频率项成对地合并起来，才是实际的频谱函数。

 

       PS: 盗图http://blog.sina.com.cn/s/blog_57ad1bd20100txgs.html

                      信号与系统频域分析（1）——傅里叶级数_第1张图片         信号与系统频域分析（1）——傅里叶级数_第2张图片

                  信号与系统频域分析（1）——傅里叶级数_第3张图片

 

 

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