信号与系统频域分析（1）——傅里叶级数

        三角函数形式的傅里叶级数：在直流分量（常数项）上叠加不同频率的正弦波来近似周期函数。

      一、基本形式：

        函数的周期为，角频率为，频率，傅里叶级数展开表达式为：

                  ....(1)

        其中，n为正整数，各次谐波成分的幅度值按以下各式计算（三角函数的正交性）：

        直流分量(等式两边在一个周期上积分，数值相等，确定系数)：

                        

        余弦分量的幅度（等式两边同时乘以，然后在一个周期上积分，数值相等，确定系数）：

                                                              ...(3)

        正弦分量的幅度（等式两边同时乘以，然后在一个周期上积分，数值相等，确定系数）：

                                                              ...(4)

 

       二、合并形式

       将（1）中同频率项加以合并，可以写成另一种形式

                             或   

        其中

                                     

                              

    

       三、指数形式(从三角波叠加到螺旋波叠加！！！)

       利用欧拉公式，将三角函数表达成指数形式。

       由欧拉公式  

       得到        

        将上式带入，可得：

        

         令                                                              ...(9)

         考虑到是n的偶函数，是n的奇函数，可得

                      

         将上式带入，得到：

                 

         令，考虑到

                 

         得到的指数形式傅里叶级数，它是：

                  

         将（3）（4）带入式（9）得到指数形式傅里叶级数的系数（或简写为），如下：

         (太美妙了，和谐的一匹！！！)

                 

          因为一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱！！！根据，可以画出复数幅度谱与复数相位谱。

          关于负频率的讨论：负频率的出现完全是数学运算的结果，并没有任何物理意义（很多问题都是从物理意义的角度入手，最后通过抽象的数学得到纯数学量的结论，数学的魅力啊！！），只有把负频率项与相应的正频率项成对地合并起来，才是实际的频谱函数。

 

       PS: 盗图http://blog.sina.com.cn/s/blog_57ad1bd20100txgs.html