Tonelli–Shanks算法
Tonelli-Shanks算法是一个求解二次平方根的算法。即，对于奇素数p，和p的一个二次剩余n，求解x^2≡n (mod p)这样的方程。“n是二次剩余”是什么意思呢？就是这个方程有解，如果没解，就叫“二次非剩余”……
关于二次剩余，有一个叫“勒让德符号”（Legendre symbol）的玩意，它能判断对于奇素数p，a是否为p的二次剩余。懒得贴图片，把它写成L(a,p)，其定义就是：
L(a,p)≡a^( (p-1)/2 ) (mod p)，这个值有-1,0,1三种可能。如果a不是p的二次剩余，这个值就是-1；如果a是0，这个值就是0；如果a是p的二次剩余，这个值就是1。
这叫做“欧拉判别法”（Euler's criterion）。证明如下：
如果a=0，结论是显然的。
否则，由费马小定理，a^(p-1)≡1 (mod p)，即：
( a^( (p-1)/2 )-1 )*( a^( (p-1)/2 )+1 )≡0 (mod p)
由于p是素数，等式左边的两项中有一项模p余0.（p≠2，所以不可能两项都模p余0）
如果a是二次剩余，即存在x使得a≡x^2 (mod p)，则显然x≠0，
a^( (p-1)/2 )≡x^2^( (p-1)/2 )≡x^(p-1)≡1 (mod p).
因此，模p的每个二次剩余a都能使第一项为零。自然地，每个二次非剩余都会使第二项为零。
证毕。
回到我们的Tonelli-Shanks算法。算法如下：
输入：奇素数p，模p的一个二次剩余n（意味着勒让德符号L(n,p)=1）.
输出：整数R，使得R^2≡n (mod p，以下默认)
算法步骤：
①从p-1中除去所有因子2，设p-1=Q*2^S，其中Q是奇数（也就是除去所有因子2的结果）。如果S=1，即p≡3 (mod 4)，那么直接返回R=±n^( (p+1)/4 ).
②选择一个z，使得勒让德符号L(z,p)= -1（即，z是p的二次非剩余），令c≡z^Q.
③令R≡n^( (Q+1)/2 ), t≡n^Q, M=S.
④循环：
1.若t≡1，返回R，程序终止。
2.否则，找出最小的i，使得0
3.令b≡c^2^(M-i-1)，令R≡R*b，t≡t*b^2，c≡b^2，M=i.
如果得到了一个解R，另一个解就是p-R。
算法正确性证明：
我们知道p-1=Q*2^S。令r≡n^( (Q+1)/2 )，t≡n^Q，注意到r^2≡nt，这一同余式在每次循环中都保持正确。如果某时刻t≡1，那就有r^2≡n，于是我们找到了n的二次平方根R≡±r，算法终止。
如果t模p不等于1，那么考虑二次非剩余z。令c≡z^Q。则c^2^S≡(z^Q)^2^S≡z^(Q*2^s)≡z^(p-1)≡1.并且c^2^(S-1)≡z^( (p-1)/2 )≡-1.这意味着c的阶是2^S.
类似地，t^2^S≡1，故t的阶能整除2^S.设t的阶是2^S'，由于n是模p的二次剩余，S'<=S-1.
现在令b≡c^2^(S-S'-1)，r'≡b*r，c'≡b^2，t'≡c't。和先前一样，r'^2≡n*t'仍然成立。但现在t和c'的阶数都是2^S'。这意味着t'的阶数2^S''满足S''
若S''=0，则t'≡1，算法终止，返回二次平方根±r'。否则，我们重新执行循环，定义b',r'',c''和t''……直到停止。由于S序列严格递减，算法一定能结束。
算法复杂度：
平均2m+2k+S(S-1)/4+1/(2^(S-1))-9次乘法取模，其中m是p的二进制位数，k是p的二进制表示中1的数量。如果二次非剩余z的取法是随机选数，那么平均需要计算2次勒让德符号。因为随机选取一个数，是二次剩余的概率为((p+1)/2)/p=(1+1/p)/2，这个数小于1但略大于1/2。因此计算勒让德符号的期望次数是2.
换言之，我们将复杂度粗略估计为log^2(p)，其中p是素数。
本文主要译自wiki有关章节。很惭愧，做了一点微小的工作，谢谢大家。