三维空间矩阵变换

二维旋转推导

假如有一个矢量(ρ,θ),那么在二维直角坐标系中可以得到x=ρ*cosθ  y= ρ*sinθ;

现在把这个矢量旋转β度,直角坐标系下变换后的矢量为(ρ,θ+β)其坐标值为x'= ρ*cos(θ+β)  y'= ρ*sin(θ+β),得到x'= ρ*(cosθcosβ - cosθsinβ),y'= ρ*(sinθsinβ+sinθcosβ),由此得到x'= x*(cosβ - sinβ),y'= x*(sinβ+cosβ

有了二维推导,我们可以得出三维变换

三维变换原理

由用齐次坐标表示,三维几何变换的矩阵是一个4阶方阵,其形式如下:


其中,产生按轴缩放、旋转、错切等变换。产生平移变换,产生投影变换,产生整体的缩放变换。

绕Z轴旋转φ得到举证表达式:

三维空间矩阵变换_第1张图片


绕X轴旋转

三维空间矩阵变换_第2张图片

绕Y轴旋转

三维空间矩阵变换_第3张图片

平移


三维空间矩阵变换_第4张图片

单轴缩放

假设x轴的缩放因子为sx, y轴的缩放因子为sy,z轴的缩放因子为sz,那么表示为:

三维空间矩阵变换_第5张图片


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