编译原理(二) NFA的确定化及DFA的最小化

1. NFA的确定化

1.１. 明确NFA的定义

一个非确定的有穷自动机(NFA)M是一个五元式：

• M=(S,∑,δ,S0,F)
  
  • S是一个有限集，它额每个元素称为一个状态。
  • ∑是一个有穷字母表，它的每个元素称为一个输入字符
  • δ是一个从S×∑∗至S子集额单值映射。即：δ:S×∑∗→2⋅S
  • S0⊆S,是一个非空的初态集
  • F⊂ S , 是一个终态集(可空)

1.2. 定义运算

定义对状态集合I的几个有关运算：

• 状态集合I的ε-闭包，表示为ε-closure(I)，定义为一状态集，是状态集I中的任何状态s经任意条ε弧而能到达的状态的集合。状态集合I的任何状态s都属于ε-closure(I)。
• 状态集合I的a弧转换，表示为move(I,a)定义为状态集合J，其中J是所有那些可从I的某一状态经过一条a弧而到达的状态的全体。
  定义Ia = ε-closure(move(I,a))

1.3. 算法描述

• 每次从队头取出一个集合，(开始队列内只有初态集合I的ε-闭包(I) )，然后得到它对于任意一个字符a的Ia=ε−closure(move(I,a))
• 然后如果当前状态之前没有出现过，那么当前状态作为一个新的状态I,放入队列。
• 一直做如上操作，直到队列为空

2. DFA的最小化

2.1. 明确DFA的定义

一个确定的有穷自动机(DFA)M是一个五元式：

• M=(S, ∑, δ, s0, F)其中
  
  • S是一个有限集，它的每个元素称为一个状态。
  • ∑是一个有穷字母表，它的每个元素称为一个输入字符
    －δ是一个从S×∑至S的单值映射。δ(s,a)=s’意味着：当现行状态－为s、输入字符为a时，将转换到下一个状态s’。我们称s’为s的一个后继状态。
  • s0∈S，是唯一的初态。
  • F ⊂ S，是一个终态集（可空）

2.2 算法描述

• DFA M =（K,∑,f, k0,, kt),最小状态DFA M’
  
  • 1.构造状态的初始划分∏0：终态kt 和非终态K- kt两组
  • 2.对∏施用传播性原则 构造新划分∏new
  • 3.如∏new=∏,则令∏new=∏并继续步骤4，否则∏:=∏new重复2
  • 4.为∏final中的每一组选一代表，这些代表构成M’的状态。若k是一代表且f(k,a)=t,令r是t组的代表，则M’中有一转换f’(k,a)=r M’ 的开始状态是含有K0的那组的代表 M’的终态是含有Kt的那组的代表
  • 5.去掉M’中的死状态.