codeforces 632F

题目大意

给定一个矩阵 A ,大小是 n∗n,n≤2500 ,判断这个矩阵是否是 Magic 的。
一个矩阵是 Magic 的，必须满足。
1.ai,i=0
2.ai,j=aj,i
3. 对于 ∀i,j,k 满足 ai,j≤max(ai,k,aj,k)

解题思路

我们不妨把 ai,j 看做在一个图中 i→j 有一条长度为 ai,j 的双向边。这样就可以满足条件1和条件2。我们可以设 fi,j 为 i 到 j 的任意路径的最长边的最小值，可得 ai,j≥fi,j .

假设一个矩阵满足条件，则 ai,j≤max(ai,k1,ak1,j) , ai,k1≤max(ai,k2,ak2,k1) ……,把式子代入可以发现， ai,j≤max(ai,k1,ak1,k2,ak2,k3...,akm,j)=fi,j .

∴ai,j=fi,j .

判断矩阵是否合法，就是判断图上的 i 到 j 的任意路径的最长边的最小值是否等于 ai,j .

这个可以用MST实现。

参考代码

#include
#include
#include
#include
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define maxn 2505
#define maxsq 15
using namespace std;

int a[maxn][maxn];

int f[maxn];

int head[maxn],t[maxn*2],v[maxn*2],next[maxn*2],sum;

int deep[maxn],fa[maxn][maxsq][2];

struct note{
    int x,y,len;
}s[maxn*maxn];

int n,tot;

int read(){
    int ret=0,ff=1;
    char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9') {
        if (ch=='-') ff=-1;
        ch=getchar();
    }
    while (ch>='0'&&ch<='9') {
        ret=ret*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return ret*ff;
}

int getf(int x){
    return f[x]==x ? f[x] : f[x]=getf(f[x]);
}

bool cmp(note i,note j){
    return i.lenint x,int y,int z){
    t[++sum]=y;
    v[sum]=z;
    next[sum]=head[x];
    head[x]=sum;
}

void dfs(int x,int father) {
    deep[x]=deep[father]+1;
    for(int tmp=head[x];tmp;tmp=next[tmp]) {
        if (t[tmp]==father) continue;
        fa[t[tmp]][0][0]=x;
        fa[t[tmp]][0][1]=v[tmp];
        dfs(t[tmp],x);
    }
}

int calc(int x,int y){
    int ret=0;
    if (deep[x]y]) swap(x,y);
    fd(i,12,0)
        if (deep[fa[x][i][0]]>=deep[y]) {
            ret=max(ret,fa[x][i][1]);
            x=fa[x][i][0];
        }
    if (x==y) return ret;
    fd(i,12,0) 
        if (fa[x][i][0]!=fa[y][i][0]) {
            ret=max(ret,fa[x][i][1]);
            x=fa[x][i][0];
            ret=max(ret,fa[y][i][1]);
            y=fa[y][i][0];
        }
    ret=max(ret,fa[x][0][1]);
    ret=max(ret,fa[y][0][1]);
    return ret;
}

int main(){
    n=read();
    fo(i,1,n)
        fo(j,1,n) {
            a[i][j]=read();
            s[(i-1)*n+j].x=i;
            s[(i-1)*n+j].y=j;
            s[(i-1)*n+j].len=a[i][j];
        }
    fo(i,1,n) {
        f[i]=i;
        if (a[i][i]!=0) {
            puts("NOT MAGIC");
            return 0;
        }
        fo(j,1,n) if (a[i][j]!=a[j][i]) {
            puts("NOT MAGIC");
            return 0;
        }
    }
    sort(s+1,s+n*n+1,cmp);
    fo(i,1,n*n) {
        if (tot==n-1) break;
        int fx=getf(s[i].x),fy=getf(s[i].y);
        if (fx==fy) continue;
        f[fx]=fy;
        tot++;
        insert(s[i].x,s[i].y,s[i].len);
        insert(s[i].y,s[i].x,s[i].len);
    }
    dfs(1,0);
    fa[1][0][0]=1;
    fo(j,1,12)
        fo(i,1,n) {
            fa[i][j][0]=fa[fa[i][j-1][0]][j-1][0];
            fa[i][j][1]=max(fa[i][j-1][1],fa[fa[i][j-1][0]][j-1][1]);
        }
    fo(i,1,n) 
        fo(j,1,n) {
            if (j>=i) break;
            if (calc(i,j)!=a[i][j]) {
                puts("NOT MAGIC");
                return 0;
            }
        }
    puts("MAGIC");
    return 0;
}