求两个字符串的编辑距离

  很多程序都需要利用到字符串的比较，而字符串的编辑距离在字符串相似性比较中，应用广泛。下面分享字符串编辑距离的求解。

概念

  字符串的编辑距离，又称为Levenshtein距离，由俄罗斯的数学家Vladimir Levenshtein在1965年提出。是指利用字符操作，把字符串A转换成字符串B所需要的最少操作数。其中，字符操作包括：

• 删除一个字符
• 插入一个字符
• 修改一个字符

  例如对于字符串"if"和"iff"，可以通过插入一个'f'或者删除一个'f'来达到目的。

  一般来说，两个字符串的编辑距离越小，则它们越相似。如果两个字符串相等，则它们的编辑距离（为了方便，本文后续出现的“距离”，如果没有特别说明，则默认为“编辑距离”）为0（不需要任何操作）。不难分析出，两个字符串的编辑距离肯定不超过它们的最大长度（可以通过先把短串的每一位都修改成长串对应位置的字符，然后插入长串中的剩下字符）。

问题描述

  给定两个字符串A和B，求字符串A至少经过多少步字符操作变成字符串B。

问题分析

  1）首先考虑A串的第一个字符

  假设存在两个字符串A和B，他们的长度分别是lenA和lenB。首先考虑第一个字符，由于他们是一样的，所以只需要计算A[2...lenA]和B[2...lenB]之间的距离即可。那么如果两个字符串的第一个字符不一样怎么办？可以考虑把第一个字符变成一样的（这里假设从A串变成B串）：

• 修改A串的第一个字符成B串的第一个字符，之后仅需要计算A[2...lenA]和B[2...lenB]的距离即可；
• 删除A串的第一个字符，之后仅需要计算A[2...lenA]和B[1...lenB]的距离即可；
• 把B串的第一个字符插入到A串的第一个字符之前，之后仅需要计算A[1...lenA]和B[2...lenB]的距离即可。

  2）接下来考虑A串的第i个字符和B串的第j个字符。

  我们这个时候不考虑A的前i-1字符和B串的第j-1个字符。如果A串的第i个字符和B串的第j个字符相等，即A[i]=B[j]，则只需要计算A[i...lenA]和B[j...lenB]之间的距离即可。如果不想等，则：

• 修改A串的第i个字符成B串的第j个字符，之后仅需要计算A[i+1...lenA]和B[j+1...lenB]的距离即可；
• 删除A串的第i个字符，之后仅需要计算A[i+1...lenA]和B[j...lenB]的距离即可；
• 把B串的第j个字符插入到A串的第i个字符之前，之后仅需要计算A[i...lenA]和B[j+1...lenB]的距离即可。

  写到这里，自然会想到用递归求解或者动态规划求解，由于用递归会产生很多重复解，所以用动态规划。

构建动态规划方程

  用edit[i][j]表示A串从第i个字符开始和B串从第j个字符开始的距离。则从上面的分析，不难推导出动态规划方程：

，其中

代码

  有了动态规划方程，程序自然也就不难写了。下面贴出我的Java代码

        /**
     * 计算两个字符串的编辑距离
     * @param str1 需要比较的字符串
     * @param str2 需要比较的字符串
     * @return 两个字符串的编辑距离
     */
    public int editDistance(String str1,String str2){
        
        int lenStr1=str1.length();
        int lenStr2=str2.length();
        int[][] edit=new int[lenStr1][lenStr2];
        for(int i=0;i