特征方程

这里尤指数列的特征方程。

参考至：点击此处 、以及此处

一个数列：$x_{n+2}=c_1{x}_{n+1}+c_2{x}_n$
假如存在$r$、$s$使得$x_{n+2}-r{x}_{n+1}=s(x_{n+1}-r{x}_n)$

$x_{n+2}=(s+r)x_{n+1}-sr{x}_n$
$c_1=s+r;c_2=-sr$

消去$s$得到特征方程：$r^2=c_{1}r+c_2$
可以发现这就是原来的数列简单的变化。

这里针对二阶线性递推数列，我们详细讲一下。
对于：$x_n=a_1{x}_{n-1}-a_2{x}_{n-2}$
特征方程为$x^2-a_{1}x+a_2=0$

首先可以发现，如果等比数列的公比是解的话，$q^n$显然是一组解。
但是并不可能变成通项，但是如果是线性无关的两组解，就可以构造出通项了。
所以$x_n=A{q}_1^n+B{q}_2^n$
但前提是$q_1和q_2$不同。

如果相同的话，$x_n=(A+Bn)q^n$[并不知道为何]

这样就可以求出通项了，实际用途中，我们会得到通项，但是通项精度不够(并不能保证求出精确解)。但是如果我们发现满足上述的通项的时候。
我们可以提出两个解，从而求解$a_1$、$a_2$。得到递推式。
进行矩阵快速幂求解。

例题点击这里