数字通信第三章——有记忆信号传输方式

一、什么是有记忆调制

\quad 连续发送的信号间具有相关性，引入相关性能使得发送信号频谱与信道的频谱特征相适应。可以通过编码来引入相关性。有记忆调制分为有记忆线性调制和有记忆非线性调制。

二、有记忆线性调制

\quad 三种基带信号：

• NRZ(非归零)：二进制1用幅度为A的矩形脉冲表示，0用幅度为-A的矩形脉冲，没有引入记忆
• NRZI(非归零反转)：也叫差分编码，发送1时幅度电平发生转换，发送0时与上一时刻一样，引入了记忆
• 延迟调制(密勒码)
  \quad 转移矩阵：由信号间转移概率构成的矩阵。转移概率$P_{ij}$表示当先前发送信号波形$s_i(t)$之后，发送当前波形$s_j(t)$的概率.如下图所示：
  

\quad 信号相关性的描述方法一般有状态图、转移矩阵和网格图三种。下图为NRZI信号对应的描述：

\quad 下图为延迟调制对应的三种描述：

三、有记忆非线性调制

\quad 这一节主要介绍CPFSK和CPM两种有记忆非线性调制方式。

连续相位FSK

\quad 无记忆FSK：用不同的频率携带要发送的数字信号，各频率间相互独立。由此特点可以得到无记忆FSK的缺点：存在频率突发式切换，造成频谱旁瓣增加，需要较大的传输带宽。解决方法就是：引入记忆，使载波相位连续变化，即CPFSK。
\quad CPFSK：以PAM信号$d(t)={\sum }_n{I}_{n}g(t-nT)$来对载波进行频率调制，从而获得等效低通波形$v(t)=\sqrt{\frac{2\epsilon }{T}}{e}^{j[4\pi T{f}_d\int d(\tau )d\tau +{\varphi }_0]}$，相应的已调信号波形为$s(t)=\sqrt{\frac{2\epsilon }{T}}cos[2\pi f_{c}t+\varphi (t,I)+{\varphi }_0]$，其中$\varphi (t,I)=4\pi T{f}_d\int d(\tau )d\tau$。
尽管d(t)具有不连续性，但d(t)的积分是连续的——连续相位。
\quad 接下来对$\varphi (t,I)$进行进一步的探究：

连续相位调制CPM：CPFSK推广到一般情况

CPM的特例：最小移频键控MSK

四、数字调制信号的功率谱

\quad 选择调制技术时,必须考虑信道带宽的约束和带宽效率。如果求出随机过程的功率谱密度,就可以确定信号所需的信道带宽.
\quad 假设已调信号为$s(t)=Re\{v(t)e^{j2\pi f_{c}t}\}$，其自相关函数为${\varphi }_{ss}(\tau )=Re\{{\varphi }_{vv}(\tau )e^{j2\pi f_{c}t}\}$，其功率谱密度即为自相关函数的傅里叶变换，可以推得$${\Phi }_{ss}(f)=\frac{1}{2}[{\Phi }_{vv}(f-f_c)+{\Phi }_{vv}(-f-f_c)]$$因此，求已调信号的功率谱，只要确定等效低通信号v(t)的自相关函数和功率谱即可！
\quad 等效低通信号为$v(t)={\sum }_{n=-\infty }^{n=\infty }{I}_{n}g(t-nT)$，$I_n$的自相关函数为${\varphi }_{ii}(m)=\frac{1}{2}E[I_n^{\ast }{I}_{n+m}]$。$v(t)$的自相关函数密度为${\Phi }_{vv}(f)=\frac{1}{T}|G(f){|}^2{\Phi }_{ii}(f)$，其中$G(f)=F[g(t)],{\Phi }_{ii}(f)={\sum }_{m=-\infty }^{\infty }{\varphi }_{ii}(m)e^{-j2\pi fmT}$。
\quad 上述式子说明了$v(t)$的功率谱密度由两个因素决定：

• 调制用的基本脉冲$g(t)$，较平滑的$g(t)$导致更紧凑的功率谱密度
• 信息序列$I_n$的功率谱密度，取决于信息序列的相关特性，控制它可以得到不同的PSD

\quad TIPS:对于任意信息序列的自相关${\varphi }_{ii}(m)$ ：相应的功率谱密度${\varphi }_{ii}(m)$是以$\frac{1}{T}$为周期的频率函数。

\quad 当消息符号为实数，且互不相关时，可以得到化简后的功率谱$${\Phi }_{vv}(f)=\frac{{\sigma }_i^2}{T}|G(f){|}^2+\frac{{\mu }_i^2}{T^2}\sum _{m=-\infty }^{\infty }|G(m/T){|}^2\delta (f-m/T)$$进一步的特性分析见下图：