[ECE] Error Codes: Parity Bit and Cyclic Redundancy Check

当我们在数字通信中传输数据时，可能会发生错误，而错误检测码（Error Codes）是一种用于检测和纠正这些错误的技术。两种常见的错误检测码是奇偶校验位（Parity Bit）和循环冗余检测（Cyclic Redundancy Check，CRC）。

奇偶校验位（Parity Bit）:

功能与原理：

奇偶校验位是一种简单的错误检测机制。在每个字节（8位）的数据中，可以添加一个附加位，使得整个数据中的1的个数是奇数（奇校验）或偶数（偶校验）。这个附加位称为奇偶校验位。

例子： 假设我们要传输一个字节的二进制数据 1101001，其中有四个1。如果我们选择偶校验，那么我们需要在数据后面添加一个校验位，使得总共有偶数个1。于是，我们在后面加上一个0，变成 11010010。现在其中偶数个1，这样就满足了偶校验。

如果在传输过程中发生了一位错误，比如其中的一个0变成了1，那么接收方在检查奇偶校验时就会发现错误，因为总的1的个数变成了奇数。这样，接收方就能够知道数据存在错误。

循环冗余检测（Cyclic Redundancy Check，CRC）:

功能与原理：

CRC是一种更复杂的错误检测方法，通常用于网络通信或存储系统。它基于多项式除法的概念。发送方计算出一个多项式的余数，并将余数附加到原始数据中发送。接收方使用相同的多项式进行除法运算，如果余数为零，则认为数据正确。

例子： 假设我们要传输一个二进制数据 11010011，并采用CRC。发送方首先选择一个CRC多项式，比如 1010。然后，将数据和一些附加的零进行多项式除法（110100110000），得到余数。在这个例子中，余数是 101。

发送方将这个余数附加到原始数据的末尾，得到最终要传输的数据：110110011101。接收方也使用相同的CRC多项式进行除法运算，如果最后得到的余数为零，就认为数据正确。

如果在传输过程中发生一位或多位错误，那么接收方在进行除法运算时就会得到一个非零的余数，从而检测到错误。

总的来说，奇偶校验位和CRC都是通过添加额外的信息来进行错误检测的方法，以确保在数字通信中的数据完整性。

如何挑选这个Generator Code？

在循环冗余检测（CRC）中，Generator Code（生成多项式）的选择是很重要的，它决定了CRC算法的性能和错误检测的能力。以下是一些选择生成多项式的一般准则：

1. 不可约性： 生成多项式应该是不可约的，即不能被其他多项式整除。这确保了CRC算法能够检测到特定长度的错误模式。通常，不可约多项式是一个没有非平凡因子的多项式。

2. 高次数： 选择具有较高次数（最高次数的指数）的生成多项式，因为这可以提高CRC算法的错误检测能力。然而，高次数也会增加计算开销。

3. 最高次数和次高次数的差异： 生成多项式的最高次数和次高次数的差异（称为Hamming距离）应该足够大，以便检测到更多的错误模式。这有助于提高CRC的强健性。

4. 特定应用需求： 有时，特定的应用可能需要特定的生成多项式，以满足特殊的错误检测需求。例如，网络通信和存储系统可能会采用不同的生成多项式。