计算复杂性第八章——空间复杂性

\quad 本章使用图灵机模型来度量算法消耗的空间。
\quad 定义：令M是一个在所有输入上都停机的确定型图灵机，M的空间复杂度$f(n)$是M在任何长度为n的输入上扫描带子方格的最大数。若M的空间复杂度为$f(n)$，则称M在空间$f(n)$内运行。
\quad 两个空间复杂性类：

• $SPACE(f(n))=\{L|L是被O(f(n))空间的确定型图灵机判定的语言\}$
• $NSPACE(f(n))=\{L|L是被O(f(n))空间的非确定型图灵机判定的语言\}$

一、萨维奇定理

\quad 萨维奇定理：任何消耗$f(n)$空间的非确定型图灵机都可以转变为仅消耗$f^2(n)$空间的确定型图灵机。对于任何函数$f$，其中$f(n)\ge n$，$NSPACE(f(n))\subseteq SPACE(f(n))$。
\quad 该定理表明确定型机器可以用非常少的空间模拟非确定型机器。对于时间复杂性，这种模拟似乎需要指数倍地增加时间。

二、PSPACE

定义：PSPACE是在确定型图灵机上、在多项式空间内可判定地语言类，即$PSPACE=U_{k}SPACE(n^k)$。任意多项式的平方仍是多项式，根据萨维奇定理，$NPSPACE=PSPACE$。
\quad 当$t(n)\ge n$时，由于在每个计算步上最多能访问一个新单元，因此，任何在时间$t(n)$内运行的机器最多能消耗$t(n)$的空间。因此，$NP\subseteq NPSPACE$，故而$NP\subseteq PSPACE$。
\quad 根据图灵机的空间复杂性也能界定它的时间复杂性。对于$f(n)\ge n$，一个消耗$f(n)$空间的图灵机必定在时间$f(n)2^{O(f(n))}$内运行，故而得到$PSPACE\subseteq EXPTIME=U_{k}EXPTIME$。
\quad $P\subseteq NP\subseteq PSPACE=NPSPACE\subseteq EXPTIME$。在第九章将证明$P\ne EXPTIME$，所以上面式子中至少有一个是真包含，但还不能确定是哪一个。

三、PSAPCE完全性

定义：若语言B满足下面两个条件，则它是PSAPCE完全的：

• 1.B属于PSPACE
• 2.PSPACE中每一个语言A多项式时间可规约到B

若B只满足条件2，则它为PSPACE难的。
两个PSAPCE问题：

• 1.TQBF就是要判断一个全量词化的布尔公式是真还是假：$TQBF=\{<\varphi >|\varphi 是真的全量词化的布尔公式\}$
• 2.FORMULA-GAME即为公式博弈：$FORMULA-GAME=\{<\varphi >|与\varphi 相关联的公式博弈中选手E有必胜策略\}$

四、L类和NL类

\quad 到目前为止，我们考虑的时间和空间复杂性至少是线性的情况，即界限$f(n)$至少是$n$，现考虑更小的亚线性空间界限$logn$。在时间复杂性中还不够读完输入，因此只在空间复杂性中考虑它们。定义：

• 1.L是确定型图灵机在对数空间内可判定的语言类，即$L=SPACE(logn)$
• 2.NL是非确定型图灵机在对数空间内可判定的语言类，即$NL=SPACE(logn)$

举例：语言$A=\{0^k{1}^k|k\ge 0\}$是L的成员。这里计算模型是双带图灵机，唯一的空间只需要用来记录两个计数器的位置。语言$PATH=\{<G,s,t>|G是包含从s到t的有向路径的有向图\}$是属于NL的，我们可以记录当前的是哪个点，进而通过暴力搜索得到答案。

之前得到结论：$f(n)$空间限制的图灵机一定能在$2^{O(f(n))}$时间复杂度内运行，在$f(n)<n$时不一定成立。比如语言$PATH$问题，空间复杂度为$f(n)=O(logn)$，但与之时间复杂度为$O(2^n)$。

五、NL完全性

\quad 类似于$P=NP$是否成立的问题，也有$L=NL$是否成立的问题。为了解决这个问题，我们找出某些NL中最困难的一类问题——NL完全问题，我们只需要证明NL完全语言不属于L语言，就可以证明L与NL不等。
\quad NL完全性定义如下：如果语言B满足下面两个条件：

• 1.$B\in NL$
• 2.NL中每个A对数空间内可规约到B

\quad 注意这里是对数空间可规约，因为不同于多项式时间可归约性，这是因为所有的NL问题都在多项式时间内可解。NL问题中任何两个问题都是互相多项式时间内可解，所以多项式时间可归约性太强，不能把NL中的问题彼此分开，故而引入对数空间可归约性。如果语言A通过对数空间可计算函数$f$映射可规约到语言B，则称A对数空间可归约到B，记为$A{\le }_{L}B$。
定理：$A{\le }_{L}B且B\in L$，则$A\in L$。
定理：PATH是NL完全的。
推论：$NL\subseteq P$
证明：消耗空间$f(n)$的图灵机在时间$n{2}^{O(f(n))}$内运行，所以对数空间内运行的规约器也在多项式时间内运行。因此，NL中任何语言多项式时间可归约到PATH，PATH又属于P，因此NL属于P。
了解：$NL=coNL$