回溯算法---01背包问题
背包问题：
给定n种物品（每种物品仅有一件）和一个背包。物品i的重量是wi ，其价值为pi ，背包的容量为w。问应如何选择物品装入背包，使得装入背包中的物品的总价值最大？
l 如果在装入背包时，物品可以切割，即可以只装入一部分，这种情况下的问题称为背包问题。
l 在装入背包时，每种物品i只有两种选择，装入或者不装入，既不能装入多次，也不能只装入一部分。因此，此问题称为0-1背包问题。
要想得到最优解，就要在效益增长和背包容量消耗两者之间寻找平衡。也就是说，总应该把那些单位效益最高的物体先放入背包。
背包问题可看做是一种回溯：
每个包是一个节点， 节点共有2个候选值0、1 。 0代表不放人背包中， 1代表放入背包中。
因此，背包问题就转换为找到满足条件的路径问题。
因此，可用回溯方法解决。
回溯方法解决背包问题：
方法一：
| // 判断节点（I,j）是否为解路径上的节点,其中： // // i表示解路径上的第i个测试节点、j表示该节点的某个候选值 // A[i] 保存第i个节点选用的值
BOOL TestNode(I ,j) { 更新相关参数值（假定选择了此候选值j，因此更新受影响的参数值）；
与0—(i-1) 层进行判断，看是否与以遍历的节点有冲突
若有冲突， 则返回FALSE； 若无冲突， 则 将节点i的值j,保存到对应的数组中A[I]=J;
判断I是否为最后一层, 若是最后一层，则成功找到一条解路径，返回TRUE；
若不是最后一层，则判断第i+1层是否有正确的节点。
BOOL bFlag=FALSE; FOR(k=0;k< CANDIDATA_NUM;k++) //候选值【0，。。。，CANDIDATA_NUM -1】 { If(TestNode(i+1,k)) { 找到一个解； bFlag=True; } //不管TestNode(i+1,k)是成功的还是失败的，退出后，都要对参数进行还原 还原相关参数值（撤销了候选值k，因此要还原受影响的参数值）；
}
RETURN bFlag;
} |
int m,n=5,x[10]={0};
int w[6]={0,2,2,6,5,5},v[6]={0,6,3,5,4,6};
int c=10;
int cw=0,cv=0,bestv=0;
BOOL TestNode(int i,int j){ // 第 i个物品的 候选值为0和1
//更新相关参数值
cw+=w[i]*j;
cv+=v[i]*j;
//与之前的物品相比 有无冲突
if (cw>c)
return FALSE;
//无冲突，添加至解路径
x[i]=j;
// 到此为止 0--i行 均无冲突
// 如果是最后一行 成功找到一个解
if(i==n){
for(i=1;i<=n;i++)
printf("%d",x[i]);
if(cv>bestv)
bestv=cv;
printf("\n");
return TRUE;
}
//如果不是最后一行 则判断i+1行
BOOL bSuit=FALSE;
for (int k=0;k<=1;k++)
{
//第i+1行存在合适位置
if (TestNode(i+1,k))
bSuit=TRUE;
//还原相关参数
cw-=w[i+1]*k;
cv-=v[i+1]*k;
}
return bSuit;
}
void Bag()
{
for (int i=0;i<=1;i++)
{
TestNode(1,i);
}
}
或 不更新与还原相关变量， 而是根据已知信息推导相关变量值
int m,n=5,x[10]={0};
int w[6]={0,2,2,6,5,5},v[6]={0,6,3,5,4,6};
int c=10;
int cw=0,cv=0,bestv=0;
BOOL TestNode(int i,int j){ // 第 i个物品的 候选值为0和1
//根据已知 推倒相关参数值
cw=0;
cv=0;
for (int k=1;k<=i-1;k++)
{
cw+=x[k]*w[k];
cv+=x[k]*v[k];
}
cw+=w[i]*j;
cv+=v[i]*j;
//与之前的物品相比 有无冲突
if (cw>c)
return FALSE;
//无冲突，添加至解路径
x[i]=j;
// 到此为止 0--i行 均无冲突
// 如果是最后一行 成功找到一个解
if(i==n){
for(i=1;i<=n;i++)
printf("%d",x[i]);
if(cv>bestv)
bestv=cv;
printf("\n");
return TRUE;
}
//如果不是最后一行 则判断i+1行
BOOL bSuit=FALSE;
for (int k=0;k<=1;k++)
{
//第i+1行存在合适位置
if (TestNode(i+1,k))
bSuit=TRUE;
}
return bSuit;
}
void Bag()
{
for (int i=0;i<=1;i++)
{
TestNode(1,i);
}
}
方法二：
根据背包问题的特殊性 ，可简化算法
int m,n=5,x[10]={0};
int w[6]={0,2,2,6,5,5},v[6]={0,6,3,5,4,6};
int c=10;
int cw=0,cv=0,bestv=0;
int ok(int k)
{
int u=1;
if(cw>c)
u=0;
return u;
}
int f(int k)
{
int i;
if (k>n)
{
for(i=1;i<=n;i++)
printf("%d",x[i]);
if(cv>bestv)
bestv=cv;
printf("\n");
}
else
{
x[k]=1; //判断候选值1
cw+=w[k];
cv+=v[k];
if(ok(k))
f(k+1);
cw-=w[k]; //判断候选值0
cv-=v[k];
x[k]=0;
if(ok(k))
f(k+1);
}
return k;
}