HDU3038 How Many Answers Are Wrong【巧妙并查集】

题目链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3038

思路

题意就是说，不停的给你区间和，问你和前面已给出的矛盾的有几个。

首先，对于给定的一系列区间[a, b]，只有有某个点相邻的区间，我们才能把它结合，得出新的信息。

像[1, 8], [6, 10]这样的不相邻的区间，我们得不出除了他们俩本身以外的任何信息。

但例如[1, 10], [1,3], [6,10]，我们就能把他们结合，得出几个新区间信息：[4, 5], [1, 5], [4, 10]。

然后，这时候如果我们把左端点减个1，化为左开右闭的区间，就相当于，我们通过(0, 10], (0, 3], (5, 10]推出了(3, 5], (0, 5], (3, 10]，也就是说，我们推出了{0, 3, 5, 10}里任取两个当端点的所有区间的信息。

怎么样，是不是有点并查集的味道了？也就是说，只要有端点相同，我们可以把这些点归到一个集合里，然后这个集合里所有的端点，任取两个，我们都能得出他的信息。

所以现在我们能做到，对于给定的一个区间(a-1, b]，我们可以判断出，这个区间的信息能不能通过以前的区间得到，如果不能，把两个端点所属的集合合并。如果能，判断当前给的区间和，是不是和推出来的区间和相等，如果相等没问题，否则答案++。

那接下来的难点就是，怎么得到这个推出来的区间和？我们现在只能判断能不能推出来，但不知道推出来是多少。

这就是这题最巧妙的地方了，我们记一个值w[i]，表示并查集里i这个节点到他父节点的距离，也就是说设sum[i]为(0, i]的区间和，w[i] = sum[i] - sum[fa[i]]。

然后，因为并查集路径压缩的特点，每次find之后，每个集合都是成三角形的形状，所有子节点都直接指向唯一一个父节点。

所以，如果我们能把w[i]维护好，区间(a, b]的和可以很轻松的算出来：

sum[b] - sum[a]

= sum[b] - sum[fa[b]] - (sum[a] - sum[fa[a]])

因为fa[b] = fa[a]（路径压缩的特点），所以

= w[b] - w[a]

那么接下来就是怎么维护好这个w了。

首先w发生变动的地方有两个，一个是find过程中的路径压缩，这时候w只要加上他父节点的w值即可。

还有一处就是合并集合的时候，设输入的集合为(a, b]，和为c，a到他集合的父节点的距离为x，b到父节点的距离为y，合并a，b集合时，a所处集合的父节点到b所处的集合的父节点距离为z。

则有等式，x + z - y = c，得z = y - x + c，即z = w[b] - w[a] +c。

至此，本题就完了。

这题并查集真的用的十分巧妙，需要好好理解。

AC代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
#define CLR(x,y) memset((x),(y),sizeof(x))

const int N = 200000 + 100;
int pre[N], w[N];
int find(int x)
{
    if (x == pre[x])return x;
    else
    {
        int fa = find(pre[x]);
        w[x] += w[pre[x]];
        pre[x] = fa;
        return fa;
    }
}
int main()
{
    int n, m;
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
    {
        for (int i = 0; i <= n; ++i)
        {
            pre[i] = i;
            w[i] = 0;
        }
        int ans = 0;
        while (m--)
        {
            int a, b, c;
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            a--;
            int x = find(a), y = find(b);
            if (x == y)
            {
                if (w[b] - w[a] != c)ans++;
            }
            else
            {
                pre[y] = x;
                w[y] = w[a] - w[b] + c;
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }

    return 0;
}