【动态规划】 石子合并问题（环形） （ssl 1597)

$$石子合并问题$$

Description

在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。

编程任务：

对于给定n堆石子,编程计算合并成一堆的最小得分和最大得分。

Input

输入包括多组测试数据，每组测试数据包括两行。

第1 行是正整数n，1<=n<=100，表示有n堆石子。

第2行有n个数，分别表示每堆石子的个数。

Output

对于每组输入数据，输出两行。

第1 行中的数是最小得分；第2 行中的数是最大得分。

Sample Input

4

4 4 5 9

Sample Output

43

54

题目大意：

有n堆石子，围成一个环，可以将相邻的两堆合在一起，两堆的重量之和为你的分数，要求最大分数和最小分数

解题方法：

建议先做完石子合并（非环形）题解，再做此题，本体我们有两种方法：

$$方法一$$

我们先用一个二位数组f[i][j]来表示从第i对开始，后面的j个数的最小值（最大的用l），然后在后面复制一遍接下来就和石子合并差不多了

动态转移方程：

$$f[i][len]=min(f[i][len],f[i][k]+f[i+k][len-k]+s[i+len-1]-s[i-1])$$

$$l[i][len]=max(l[i][len],l[i][k]+l[i+k][len-k]+s[i+len-1]-s[i-1])$$

注释：

f[i][k]为前面，i+k是后面的开始，len-k是长度有len已经用了k，所以要减掉k，i+len-1是这一段的后面，因为第i个也要求，所以要减去i-1

#include
#include
using namespace std;
int a[205],f[205][205],l[205][205],s[205],n,minn,maxx;
int main()
{
	memset(f,127/3,sizeof(f));
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	scanf("%d",&a[i]);
	  	s[i]=s[i-1]+a[i];
	  	f[i][1]=0;
	  }
	for (int i=n+1;i<=n*2;i++)
	  {
	  	s[i]=s[i-1]+a[i-n];//复制一遍
	  	f[i][1]=0;
	  }
	for (int len=2;len<=n;len++)//长度
	  for (int i=1;i<=n*2-len;i++)//前面的数，n-len+1+n-1=n*2-len
	    for (int k=1;k<len;k++)//分界线
		  {
		    f[i][len]=min(f[i][len],f[i][k]+f[i+k][len-k]+s[i+len-1]-s[i-1]);//求最小的
			l[i][len]=max(l[i][len],l[i][k]+l[i+k][len-k]+s[i+len-1]-s[i-1]);//求最大的
		  }
	minn=2147483647;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	minn=min(minn,f[i][n]);//最小的
	  	maxx=max(maxx,l[i][n]);//最大的
	  }
	printf("%d\n%d",minn,maxx);
}

---

$$方法二$$

我们不在后面加一段（f和l表示的一样），直接用mod的方法，超过你的直接从1开始往后，本做法详情看动态转移方程

动态转移方程

$$f[i][len]=min(f[i][len],f[i][k]+f[(i+k-1)modn+1][len-k]+fj(i,i+len-1));$$

$$l[i][len]=max(l[i][len],l[i][k]+l[(i+k-1)modn+1][len-k]+fj(i,i+len-1));$$

注释：

(i+k-1) mod n+1为什么不写成（i+k）mod n呢？因为当i+k=n时，结果为0，0不在我们的计算范围内，所以我们要用(i+k-1) mod n+1,用这种的话，当i+k=n时，结果为n。fj（i，i+len-1）为计算i到i+len-1之间的数

#include
#include
using namespace std;
int a[105],f[105][105],l[105][105],s[105],n,minn,maxx;
int fj(int x,int y)
{
	if (y<=n) return s[y]-s[x-1];//没有超过n
	return fj(x,n)+fj(1,y-n);//分两段
}
int main()
{
	memset(f,127/3,sizeof(f));
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	scanf("%d",&a[i]);
	  	s[i]=s[i-1]+a[i];
	  	f[i][1]=0;
	  }
	for (int len=2;len<=n;len++)//长度
	  for (int i=1;i<=n;i++)//前面的
	    for (int k=1;k<len;k++)//分界线
		  {
		    f[i][len]=min(f[i][len],f[i][k]+f[(i+k-1)%n+1][len-k]+fj(i,i+len-1));//状态转移方程
			l[i][len]=max(l[i][len],l[i][k]+l[(i+k-1)%n+1][len-k]+fj(i,i+len-1));//状态转移方程
		  }
	minn=2147483647;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	minn=min(minn,f[i][n]);//求最小的
	  	maxx=max(maxx,l[i][n]);//求最大的
	  }
	printf("%d\n%d",minn,maxx);
}