牛客 每日一题 3 数学考试 题解（前缀和+dp）
题目链接
题目大意
求两段不连续区间，使和最大
题目思路
前言
看到题目数据的第一瞬间，觉得只有可能是o（n）的复杂度，但是感觉o（nlogn）可能也行，然后经过我的一番摸索，发现可用线段树打出o（nlogn）的复杂度，然后就t了。。。先把t了的代码放一下数据范围稍微小一点应该就能过
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+5;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int t,n,k,a[maxn];
ll tree[maxn<<2],qz[maxn],sum[maxn],ans=-inf;
void update(int node,int l,int r,int pos,ll zhi){
if(l==r){
tree[node]=zhi;
return ;
}
int mid=(l+r)/2;
if(mid>=pos) update(node<<1,l,mid,pos,zhi);
else update(node<<1|1,mid+1,r,pos,zhi);
tree[node]=max(tree[node<<1],tree[node<<1|1]);
}
ll query(int node,int l,int r,int L,int R){
if(L<=l&&R>=r){
return tree[node];
}
ll ans=-inf,mid=(l+r)/2;
if(mid>=L) ans=max(ans,query(node<<1,l,mid,L,R));
if(mid 正文
因为长度已知，最暴力的办法肯定是直接枚举两个子区间的起点，然后求和，复杂度O(n^2* k)
连续区间求和可以用前缀和来优化，即用 sum[i]表示数列前 i 个数字的和，那么sum[i]=sum[i−1]+a[i]，而区间 [l,r] 的和则可以表示为sum[r]−sum[l−1]。这样优化之后就不用遍历求和了直接算就好，时间复杂度变为O(n^2）
实际上我们根本不用枚举右边子区间的起点，因为如果我们的选择的左边这个区间是 [l,r] 的话，右边的区间一定是 r 右边的所以长度为 k 的区间里面和最大的那个，这个只需要从右往左扫描一遍就可以维护出来——如果我们用 maxn[i] 表示 i 右边的所有长度为 k 的区间的和的最大值，那么maxn[i]=max(maxn[i+1],sum[i+k−1]−sum[i−1])（要么是i+1右边长度为 k 的区间的最大值，要么是从i 开始向右长度为k 的区间）。这样子O(n)了。
代码
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+5;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int t,n,k,a[maxn];
ll sum[maxn],houmax[maxn],ans;
void init(){
ans=-inf;
memset(houmax,-0x3f,sizeof(houmax));
}
int main(){
scanf("%d",&t);
while(t--){
init();
scanf("%d %d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
for(int i=n-k+1;i>=1;i--){//houmax[i]表示以i为起点后面所有长为k的连续序列的最大值
houmax[i]=max(houmax[i+1],sum[i+k-1]-sum[i-1]);
}
for(int i=1;i+2*k-1<=n;i++){//注意是i+2*k-1,因为第一段为[i,i+k-1],挨着它的为[i+k,i+2*k-1]
ans=max(ans,sum[i+k-1]-sum[i-1]+houmax[i+k]);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
变形问题
一：不限制长度——在一个数列里找两个不相交区间使得他们权值和最大
二：区间数目变多——找 m个长度为 k 的不相交区间使得他们的权值和最大 (1≤n≤5000)
三：区间数目变多且不限制长度——找 m 个不相交长度不限的区间使得他们权值和最大(1≤n≤5000)
变形1
先鸽鸽鸽吧
参考链接https://ac.nowcoder.com/discuss/392146