求两个数的最大公约数

对于求最大公约数，有许多大数学家为此建立了许多不同的算法，在此我将对这些算法做一个总结和归纳。

穷举法

思路：
按从小到大（初值为1，最大值为两个整数当中较小的数）的顺序将所有满足条件的公约数列出，则按顺序，最后一个计算出的公约数即为最大公约数。

流程图：

Created with Raphaël 2.2.0 START Enter num1,num2 num1

程序代码：

//An highlighted blockvar foo = 'bar'
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<Windows.h>
int main()
{
 int num1, num2, temp, i;
 printf("please input number:\n");
 scanf("%d %d", &num1, &num2);
// if (num1 < num2)
// {
//  temp = num1;
//  num1 = num2;
//  num2 = temp;
// }
 temp = 0;
 for (i = 1; i < num1; i++)
 {
  if (num1%i == 0 && num2%i == 0)
  {
   temp = i;
  }
 }
 printf("the max common divisor : %d\n", temp);
 system("pause");
 return 0;
}

---

注意：因为是对两个数分别除以循环举例得到得数字，不存在因两个数得顺序不同会影响程序运行和结果的情况，可以省去交换步骤。

辗转相除法

思路：
又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

流程图：

Created with Raphaël 2.2.0 START Enter num1,num2 num1

程序代码：

//An highlighted blockvar foo='bar'
#include<stdio.h>
#include<windows.h>
#pragma warning(disable:4996)

int main()
{
 int num1, num2, temp;
 printf("please input number:\n");
 scanf("%d %d", &num1, &num2);
// if (num1 < num2)
// {
//  temp = num1;
//  num1 = num2;
//  num2 = temp;
// }
 temp = 0;
 while (1) {
  temp = num1 % num2;
  if (0 == temp)
   break;
  else {
   num1 = num2;
   num2 = temp;
  }
 }
 printf("the max common divisor : %d\n", num2);
 system("pause");
 return 0;
}

---

注意：辗转相除从理论上来说，两数字的前后顺序大小会对结果有影响，但对于计算机来说，取模运算如果前者比后者小，最后余为前者，那么传入下一次循环，会自动对两者进行交换，无需主动交换。

更相减损术

思路：
第一步：对于任意给定的两个正整数，判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

流程图：

Created with Raphaël 2.2.0 STAR Enter num1,num2,times=0,temp=0,i=0 num1%2==0 && num2%2==0 ? num1=num1÷2 num2=num2÷2 times++ num1

程序代码：

//An highlighted blockvar foo='bar'
#include<stdio.h>
#include<windows.h>
#include<math.h>
#pragma warning(disable:4996)

int main()
{
 int num1, num2, temp = 0, times = 0, i = 0;
 printf("please input number:\n");
 scanf("%d %d", &num1, &num2);
 while(0 == num1 % 2 && 0 == num2 % 2) {
  num1 = num1 / 2;
  num2 = num2 / 2;
  times++;
 }
 while (1) {
  if (num1 < num2)
  {
   i = num1;
   num1 = num2;
   num2 = i;
  }
  temp = num1 - num2;
  num1 = temp;
  if (temp == num2) {
   printf("the max common divisor : %d\n", temp*(int)pow(2, times));
   break;
  }
 }
 system("pause");
 return 0;
}