斜率优化学习

斜率优化

从入门到提高到放弃

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今天本来说复习计算几何的凸包(顺便学一下动态凸包)，结果教练给我们的凸包题目全是用凸包来优化DP的，汗-_-||，开始还行吧，结果越到后面越懵逼……

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• 斜率怎么用来做优化?

  因为许多的DP都是一个方程，而DP一般都是求解最优值，也就是最大或最小等等，大多形如:

  dp[i]=max/min{j<ij=1{dp[j]+calc(i,j)}dp[i]=max/min{j=1j

  最初都是O(n2)O(n2)的复杂度，但是我们可以令两个值j,kj,k，并假设从jj转移到ii比从kk转移到ii更优秀，于是便可以得到一个不等式，dp[j]+calc(i,j)<dp[k]+calc(i,k)dp[j]+calc(i,j)（这里假设求最小值）,然后移项整理合并就可以得出一个类似于如下式子的关系:

  (dp[j]−dp[k]+calc(i,j)−calc(i,k)<0(dp[j]−dp[k]+calc(i,j)−calc(i,k)<0

  然后我们选择一个跟ii有关的项作为斜率，式子就变成了：

  dp[j]−dp[k]+(etc)<i(etc)dp[j]−dp[k]+(etc)

  上面这是第一种(应该好理解吧)，下面一种就是从坐标系来分析。
  我们写出DP转移方程并化为类似的直线方程，如y=kx+by=kx+b，那么我们一般将要求的答案放到bb，然后就转换成求该直线(也就是截距式)的纵截距的最值(纵截距也就是bb的值)。然后就还是凸包搞了。

  然后又分为了大体三种情况:

  1. 第一种：就是斜率是随着x,yx,y的单调变化而单调的，这种最简单，根据具体情况一个优先队列维护一个凸壳就可以解决啦。
  2. 第二种：就是我们令式子其中的两个与jj或kk有关的式子为x,yx,y，在斜率中有一个是单调的，那么另一个就可以二分查找，还是一个类似与单调队列的东西，只不过每次取队首变成了在之前的部分二分查找最优解。
  3. 第三种：也是想让人放弃的一种，x,yx,y都不单调，没啥规律，那么只有动态维护凸壳（有时会是两个凸壳），朴素的在线做法为treap或者splay(或者直接用STL的map或set)维护凸包，然后查询最优解。如果不强制要求在线，那么神奇的CDQ分治就可以派上用场啦，用归并的思想，因为有时一般求dp[i]dp[i]时只会用i−1i−1之前的，那么分治归并，先按照第一关键量的要求排序，然后递归处理第二关键量，(这里的第一第二关键量一般就是x，y了)，递归l,r区间的时候先处理(l,mid)的情况，然后将影响转移到(mid+1,r),然后再处理(mid+1,r)，一般O(nlog2n)O(nlog2n)的时间就能解决了。(个人认为数据结构难写但好理解，而CDQ代码量少多了，但不太好理解)。

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