[NOI Online #3 提高组]优秀子序列

一、题目

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二、解法

首先有一个朴素$dp$，因为每个数位都只会最多出现$1$次，而且出现数位相同的不同情况最后也可以一起算答案（和一定），那么我们只需要统计出方案数，$dp[i]$为二进制位出现的装压为$i$，转移枚举包含$i$的状态$j$，设$a[i]$为值$i$出现次数，$0$需要单独考虑，转移为：
$$dp[j]=dp[j\oplus i]\times a[i]$$这样做$O(\min (a,n)a)$，优化$j$的枚举方式，找到大于等于$i$的全$1$的数，那么我们可以拿到$i$在这个集合下的补集，那么枚举这个补集的子集，就是$j$比$i$多出来的一部分，这样转移的复杂度是$O(3^k)$（$2^k>a$）

#include 
#include 
using namespace std;
const int M = 300005;
const int jzm = 1e9+7;
int read()
{
    int num=0,flag=1;char c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
    while(c>='0'&&c<='9')num=(num<<3)+(num<<1)+(c^48),c=getchar();
    return num*flag;
}
int n,m,k,mx,cnt,ans,a[M],b[M],dp[M],phi[M],p[M];
void sieve(int n)
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!phi[i])
        {
            p[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt && i*p[j]<=n;j++)
        {
            if(i%p[j]==0)
            {
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
        }
    }
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int t=read();
        if(t==0) k++;
        a[t]++;mx=max(mx,t);
    }
    m=1;
    while(m<=mx)
        m*=2;
    sieve(m);
    m--;dp[0]=1;
    for(int i=1;i<=mx;i++)
    {
    	b[i]=b[i>>1]<<1|1;
    	if(!a[i]) continue;
    	int tmp=b[i]^i;
    	for(int j=tmp;;j=(j-1)&tmp)
    	{
    		dp[j|i]=(dp[j|i]+1ll*dp[j]*a[i])%jzm;
    		if(!j) break;
		}
    }
    for(int i=0;i<=m;i++)
        ans=(ans+1ll*dp[i]*phi[1+i])%jzm;
    for(int i=1;i<=k;i++)
        ans=2ll*ans%jzm;
    printf("%d\n",ans);
}