矩阵快速幂核心模板+例题

矩阵乘法：
矩阵 A，B 的大小分别为 a x b 和 b x c
设 C = AB，则 C 的大小为 a x c
一般我们只考虑方阵，即 A、B 的大小都是 n x n

对于矩阵快速幂，记个板子就好。推荐封装成一个结构体并且重载乘法运算符。
问题引入：
给定矩阵 A，请快速计算出 A^n（n 个矩阵 A 相乘）的结果，输出的每个数都 % p

struct matrix{
 int x[15][15];
 matrix operator*(const matrix &t)const{
  matrix ret;
  for(int i=0;i<10;i++){//两个相乘矩阵的大小（方阵）
   for(int j=0;j<10;j++){
    ret.x[i][j]=0;
    for(int k=0;k<10;k++){
     ret.x[i][j]+=x[i][k]*t.x[k][j]%mod;
     ret.x[i][j]%=mod;
    }
   }
  }
  return ret;
 }
 matrix(){ memset(x,0,sizeof(x));}
};
matrix solve(matrix a,int x)
{
 matrix ret;
 for(int i=0;i<10;i++)ret.x[i][i]=1;//单位矩阵
 while(x){
  if(x&1)ret=ret*a;
  a=a*a;
  x>>=1;
 }
 return ret;
}

所有的矩阵快速幂都是只需找到求解的线性递推关系即可。就是类似这样的等式：
如果上述的明白了，那么
例题：
Q老师 对数列有一种非同一般的热爱，尤其是优美的斐波那契数列。
这一天，Q老师 为了增强大家对于斐波那契数列的理解，决定在斐波那契的基础上创建一个新的数列 f(x) 来考一考大家。数列 f(x) 定义如下：
当 x < 10 时，f(x) = x；
当 x ≥ 10 时，f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10)，ai 只能为 0 或 1。
Q老师 将给定 a0～a9，以及两个正整数 k m，询问 f(k) % m 的数值大小。
聪明的你能通过 Q老师 的考验吗？
Input
输出文件包含多组测试用例，每组测试用例格式如下：
第一行给定两个正整数 k m。（k < 2e9, m < 1e5）
第二行给定十个整数，分别表示 a0～a9。
Output
对于每一组测试用例输出一行，表示 f(k) % m 的数值大小。
Sample Input
10 9999
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
20 500
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
Sample Output
45
104

经过分析不难得出所需求的是数组：

的幂次方。
AC代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
int k,mod;
int a[15];
struct matrix{
 int x[15][15];
 matrix operator*(const matrix &t)const{
  matrix ret;
  for(int i=0;i<10;i++){
   for(int j=0;j<10;j++){
    ret.x[i][j]=0;
    for(int k=0;k<10;k++){
     ret.x[i][j]+=x[i][k]*t.x[k][j]%mod;
     ret.x[i][j]%=mod;
    }
   }
  }
  return ret;
 }
 matrix(){ memset(x,0,sizeof(x));}
};
matrix solve(matrix a,int x)
{
 matrix ret;
 for(int i=0;i<10;i++)ret.x[i][i]=1;
 while(x){
  if(x&1)ret=ret*a;
  a=a*a;
  x>>=1;
 }
 return ret;
}
int main(){
 while(cin>>k>>mod){
  for(int i=0;i<=9;i++)cin>>a[i];
  matrix u;
  for(int i=0;i<10;i++)u.x[0][i]=a[i];
  for(int i=1;i<10;i++)u.x[i][i-1]=1;
  matrix ans=solve(u,k-9);
  int sum=0;
  for(int i=0;i<10;i++)sum+=ans.x[0][i]*(9-i)%mod;
  sum%=mod;
  cout<<sum<<endl;
 }
 return 0;
}