【网络流24题】太空飞行计划

题目

链接：LOJ P6001
洛谷P2762

解法

考虑网络流建模。设置点 1 1 ~ N N 表示每种仪器，点 N+1 N + 1 ~ N+M N + M 表示每个项目，超源 S S ，超汇 T T 。从 S S 向所有项目各连一条边 (S,j,capacity=pj) ( S , j , c a p a c i t y = p j ) ，从所有仪器各向 T T 连一条边 (k,T,capacity=ck) ( k , T , c a p a c i t y = c k ) ，从每个实验向其所需的仪器连边 (j,k,capacity=+∞) ( j , k , c a p a c i t y = + ∞ ) ，答案即为所有实验的总收益减去最大流。

于是，正确性？

首先考虑所有被选择的点，假设这些点所代表的每个项目净收益都为正，项目 j j 所需的仪器集合为 K K ，那么由于每个项目的净收益为正，有 ∀j,pj⩾∑x∈K ∀ j , p j ⩾ ∑ x ∈ K ，故该项目在模型中对最大流的贡献为 ∑x∈K ∑ x ∈ K 。

对于未被选择的项目，它们的净收益一定为负，那么其对最大流的贡献为 pj p j 。

综上，在总净收益最大的情况下若一个项目被选择，其对最大流的贡献等于其净收益；若其未被选择，其对最大流的贡献等于其收益 (pj) ( p j ) 。因此答案为所有实验的总收益减去最大流。

代码

#include
#include
#include
#include
#include

using namespace std;

struct edge{
    int v,c;
    edge():v(0),c(0){}
    edge(int y,int d):v(y),c(d){}
};

const int INF=1000000000;
vector<int> point[103];
vector vec;
char ch;
int N,M,K[51],W[51],S,T,x,ans,d[103],p[103];

inline void addedge(int x,int y,int c,int i=0){point[x].push_back(vec.size());vec.push_back(edge(y,c));point[y].push_back(vec.size());vec.push_back(edge(x,0));}

bool bfs(){
    queue<int> q;q.push(S);memset(d,0,sizeof(d));d[S]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i:point[u]){
            edge e=vec[i];int v=e.v,c=e.c;
            if(!d[v]&&c)q.push(v),d[v]=d[u]+1;
        }
    }
    return d[T];
}

int dfs(int u,int f){
    if(u==T)return f;
    for(int &i=p[u];iint v=e.v,c=e.c,fl;
        if(d[v]==d[u]+1&&c&&(fl=dfs(v,min(f,c)))){vec[point[u][i]].c-=fl;vec[point[u][i]^1].c+=fl;return fl;}
    }
    return 0;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&M,&N);
    T=(S=N+M+1)+1;
    for(int i=1;i<=M;++i){
        scanf("%d",K+i),ans+=K[i],addedge(S,i+N,K[i]);ch=0;
        while(ch!='\r'&&ch!='\n')scanf("%d",&x),addedge(i+N,x,INF),ch=getchar();
    }
    for(int i=1;i<=N;++i)scanf("%d",W+i),addedge(i,T,W[i]);
    while(bfs()){int d;memset(p,0,sizeof(p));while(d=dfs(S,INF))ans-=d;}
    for(int i=1;i<=M;++i)if(d[i+N])printf("%d ",i);puts("");for(int i=1;i<=N;++i)if(d[i])printf("%d ",i);puts("");printf("%d",ans);
}