001-整数快速幂-归纳法-《算法设计技巧与分析》M.H.A学习笔记

计算x的n次幂的朴素算法复杂度为O(N)，我们还有一种复杂度为O(log N)的快速幂方法。

基本思想：

1. 令m=n/2。 假设已经知道如何计算x^m，再来求xⁿ。

2. 分两种情况：

如果n为偶数，xⁿ=(x^m)²

如果n为奇数，xⁿ=x(x^m)²

根据这个思想，可以得出递归的算法：

伪代码：

 

 

C++代码：

 int quickpower(int a, int n) {
   if (n == 0)
     return 1;
   if (n % 2 == 1)
     return quickpower(a, n / 2) * quickpower(a, n / 2) * a;
   else
     return quickpower(a, n / 2) * quickpower(a, n / 2);
 }

 

我们推导出迭代的算法。

推导过程：

 

求实数x的n次方法：

1. 令n表示为二进制d_k，d_k-1，...d₀。n=2^k+2^k-1+...+2⁰

2. 令y=1.

3. 从左到右扫描二进制数字，如果当前数字为0，y赋值y²，如果当前数字为1，y赋值xy²。

伪代码：

 

私家珍藏两版C++代码：

1.

 //a^n%mod
 long long pow_mod(long long a, long long n, long long mod)
 {
 long long ret = 1;  //返回的值
 while (n)
 {
 if (n % 2 == 1) ret = ret*a%mod;     //n&2==1表示低位为1，因此要乘上去
 a = a*a%mod; //a倍增
 n /= 2;  //n除以2，转到下一位
 }
 return ret;
 }

2.

 long long pow_mod(long long a,long long n,long long mod)
 {
 long long ret=1;
 while (n)
 {
 if (n & 1) ret = ret*a%mod;
 a = a*a%mod;
 n >>= 1;
 }
 return ret;
 }