001-整数快速幂-归纳法-《算法设计技巧与分析》M.H.A学习笔记

计算xn次幂的朴素算法复杂度为O(N),我们还有一种复杂度为O(log N)的快速幂方法。

基本思想:

1. m=n/2。 假设已经知道如何计算xm,再来求xn

2. 分两种情况:

如果n为偶数,xn=(xm)2

如果n为奇数,xn=x(xm)2

根据这个思想,可以得出递归的算法

伪代码:

 001-整数快速幂-归纳法-《算法设计技巧与分析》M.H.A学习笔记_第1张图片

001-整数快速幂-归纳法-《算法设计技巧与分析》M.H.A学习笔记_第2张图片

 

C++代码:

[cpp]  view plain  copy
 
  1. int quickpower(int a, int n) {  
  2.   if (n == 0)  
  3.     return 1;  
  4.   if (n % 2 == 1)  
  5.     return quickpower(a, n / 2) * quickpower(a, n / 2) * a;  
  6.   else  
  7.     return quickpower(a, n / 2) * quickpower(a, n / 2);  
  8. }  


 

我们推导出迭代的算法

推导过程:

 001-整数快速幂-归纳法-《算法设计技巧与分析》M.H.A学习笔记_第3张图片

求实数xn次方法:

1. n表示为二进制dk,dk-1,...d0。n=2k+2k-1+...+20

2. y=1.

3. 从左到右扫描二进制数字,如果当前数字为0y赋值y2,如果当前数字为1y赋值xy2

伪代码:

 001-整数快速幂-归纳法-《算法设计技巧与分析》M.H.A学习笔记_第4张图片

私家珍藏两版C++代码:

1.

[cpp]  view plain  copy
 
  1. //a^n%mod  
  2. long long pow_mod(long long a, long long n, long long mod)  
  3. {  
  4. long long ret = 1;  //返回的值  
  5. while (n)  
  6. {  
  7. if (n % 2 == 1) ret = ret*a%mod;     //n&2==1表示低位为1,因此要乘上去  
  8. a = a*a%mod; //a倍增  
  9. n /= 2;  //n除以2,转到下一位  
  10. }  
  11. return ret;  
  12. }  


2.

[cpp]  view plain  copy
 
  1. long long pow_mod(long long a,long long n,long long mod)  
  2. {  
  3. long long ret=1;  
  4. while (n)  
  5. {  
  6. if (n & 1) ret = ret*a%mod;  
  7. a = a*a%mod;  
  8. n >>= 1;  
  9. }  
  10. return ret;  
  11. }  

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