【总结】线性筛质数

什么是质数

质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。 —百度

怎么判断质数

1.暴力判断

直接枚举$i:2\to n-1$，如果$i$是$n$的因数，则$n$一定是质数，如果找完都没找到这样的$i$说明$n$是合数，纯粹是根据定义来判断

bool check(int n){
	if(n<2) return false;
	for(int i=2;i<n;i++){
		if(n%2==0) return false;
	}
	return true;
}

2.优化的暴力枚举

考虑到如果一个数$i$为$n$的因数，则$\frac{n}{i}$一定也为$n$的因数，所以枚举$i$和枚举$\frac{n}{i}$是等价的，如图，在$5$之前所有数都能找到与之对应的数，所以我们枚举到$5$即可，那么$5$是怎么来的呢？很明显是$\sqrt{n}$呐，因为这种数对的临界就是$i$和$i$(当$i^2=n$时)

bool check(int n){
	if(n<2) return false;
	for(int i=2;i<sqrt(n);i++){
		if(n%2==0) return false;
	}
	return true;
}

但这些依然不够，有时我们需要得出一整段数中的质数，当然可以用上面的方法对这些数一个一个的判断，但这样太慢了，这时就要用到素数筛了

怎么筛素数

1.埃筛

埃筛的核心思想是一个合数一定是一个质数的倍数(是个人都知道)，所以我们只需枚举每一个质数，然后用它的倍数筛掉合数，但是我们需要枚举质数，可是我们埃筛就是为了得到质数，那怎么办？

首先我们知道，当我们枚举到一个数时，这个数要么被筛过了，要么还没被筛，那么没筛的是否就是质数呢？答案是肯定的，因为根据质数的定义，“除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数”，换句话讲，一个质数的因数只有1和他本身，所以他还没被筛的话，就一定是质数了

void get_prime(int n){
	memset(isprime,1,sizeof(isprime));
	isprime[1]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(isprime[i]==1){
			for(int j=i*i;j<=n;j+=i){
				isprime[j]=0;
			}
		}
	}
}

2.线性筛

刚才的筛法会重复筛掉一些，如质数2会筛6，而3也会筛6，这就慢了许多，那么我们可不可以只筛一次呢，办法是有的，但不告诉你，就是只筛这个合数的最小质因数

做法

1. 依次枚举每一个数
2. 若当前数没被筛，则把这个数加入质数集合
3. 对于每一个数，枚举当前已知质数，并相应筛掉$当前数\times 枚举到的质数$，而被筛掉的那个数的最小质因数一定是枚举到的质数(为什么看后面)
4. 如果$i$是枚举到的质数的倍数，停止枚举质数

先看代码理解做法

bool isprime[MAXN];
int prime[MAXN];
int cnt=0;
void get_prime(int n){
	memset(isprime,1,sizeof(isprime));
	isprime[1]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(isprime[i]==1){
			prime[++cnt]=i;
		}
		for(int j=1;j<=cnt && i*prime[j]<=n;j++){
			isprime[i*prime[j]]=0;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}
//最终的prime就保存了n以内的所有质数

原理

if(i%prime[j]==0) break;

这段程序保证了筛掉的那个数的最小质因数一定是prime[j]

理由:

• $i$的最小质因数肯定是$prime[j]$。
  我们假设$i$的最小质因数是$prime[k]$
  则：
  若$k<j$ 则在$k$时就会break,而不会到$j$再break,矛盾
  若$k>j$
  $\because$ 我们是从小到大枚举质数
  $\therefore$ $prime[k]>prime[j]$,即$prime[k]$一定不是最小质因数，矛盾
  综上， $i$的最小质因数肯定是$prime[j]$

• $i\times prime[k](k>j)$的最小质因数一定是$prime[j]$。
  因为$i$的最小质因数是$prime[j]$，所以$i\times prime[k](k>j)$也含有 $Prime[j]$这个因数（这是$i$的功劳），所以其最小质因数也是 $prime[j]$

第一条说明了：$i$的最小质因数是$prime[j]$，那么$i\times prime[j]$的最小质因数也是$prime[j]$。所以，$j$一定可以保证了筛掉的那个数的最小质因数是$prime[j]$

第一条说明了：如果到j后不break，那么继续筛下去会不用最小质因数筛数，是无用的

一个作者进入过的误区：
当$i$还不大的时候，可能会一层内就筛去大量合数，看上去耗时比较大
但是，由于保证了筛去的合数日后将不会再被筛（总共只筛一次），复杂度是线性的。到$i$接近 $n$ 时，你会发现每层几乎都不用做什么事。

最后，希望大家不要因为它快就忘记它原本的名字，它叫欧 拉 筛