关于动态规划（入门篇）
关于动态规划（入门篇）
作者：焦祺 09-02-26
题记：网上DP总结如云……
但较于杂乱，对新手的入门无层次渐进的指导，故写此篇。
动态规划的启蒙题目
题目：Pku 1163 the Triangle http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1163
HDU 2084 数塔 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2084
对于一个有数字组成的二叉树，求由叶子到根的一条路径，使数字和最大，如：
这个是经典的动态规划，也是最基础、最简单的动态规划，典型的多段图。思路就是建立一个数组，由下向上动态规划，保存页子节点到当前节点的最大值
核心代码：(c语言)
for (i=n-2;i>=0;i--)
{
for (j=0;j<=i;j++)
{
a[i][j] += a[i+1][j]>a[i+1][j+1]?a[i+1][j]:a[i+1][j+1];
}
}
本题的详细完整代码请浏览：
http://blog.csdn.net/jqandjq/archive/2009/02/26/3938367.aspx
此题的特点是可以用递归的方法，但那为了避免重复地搜索，往往会运用“记录递归”的方法，那是一种自顶向下的过程，而DP的方法则相反，是一种自底向上逐步保存过程，用数组保存模拟。
由此我们可以推广出一种DP用“记录递归”的方法来完成：
Pku 1579 Function Run Fun http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1579
Hdu 1579 Function Run Fun http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1579
这本身就是一个递归函数，要是按照函数本身写递归式，结果肯定是TLE，这里我开了一个三维数组，从w(0,0,0)开始递推，逐步产生到w(20,20,20)的值，复杂度O(n^3).
总结：这道题是很地道的DP，因为它的子问题实在是太多了，所以将问题的结果保存起来，刘汝佳《算法艺术和信息学竞赛》中115页讲到自底向上的递推，这个例子就非常典型。总体来说这个题目还是非常简单的，不过这个思想是地道的动态规划。
本题的详细完整代码请浏览：
http://blog.csdn.net/jqandjq/archive/2009/02/26/3938504.aspx
接下来的介绍有关于动态规划的几种基础类型：
1．求序列的连续最大段 à 推广类型：求矩阵的最大子矩阵
2．求序列的最大上升序列
3．求序列的最大连续上升子序列
求序列的连续最大段：
典型例题：Max Sum：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1003
这是DP的经典之一，欲求出一个最优的结果，但不暴力地去枚举。
如一个序列：6,-1,5,4,-7 求它的连续最大段就是：6 + (-1) + 5 + 4 = 14.
用DP的方法只要一重的循环就可以把这道题搞定：
每一次的计算对前一次结果不会有影响，这是DP的特点。
这样之要从第一个开始计算，6 -1 5 4 -7 的最大值分别是 6 5 10 14 7
如果计算过程中值出现小于零的情况那就将值归零。
核心C代码：
int sum=0,maxnum=-1001,first =0, last = 0, temp = 1;
for (i=0;i
{
sum += a[i];
if (sum > maxnum)
{
maxnum = sum;first = temp;last = i+1;
}
if (sum < 0)
{
sum = 0;temp = i+2;
}
}
本题的详细完整代码请浏览：
http://blog.csdn.net/jqandjq/archive/2009/02/26/3940608.aspx
下面看一下上一题的推广类型：
求矩阵的最大子矩阵
典型例题：
Pku 1050 To The Max http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1050
Hdu 1081 To The Max http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1081
题目的意思很简单，在一个矩阵里面找它的子矩阵，使得子矩阵数值之和到达最大。其实就是最大子段和问题在二维空间上的推广。考察下面题目中的例子：
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 7
-1 8 0 -2
我们分别用i j表示起始行和终止行，遍历所有的可能：
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=i;j<=n;j++) {}
我们考察其中一种情况 i=2 j=4，这样就相当与选中了2 3 4三行，求那几列的组合能获得最大值，由于总是 2 3 4行，所以我们可以将这3行”捆绑”起来，变为求 4(9-4-1),11(8+2+1),-10(-6-4+0),7(7+2-2)的最大子段和，ok，问题成功转化为一维的情况！
核心代码：
for (i=0;i
{
for (j=0;j
{
if (i == j) //只有一行的情况，我们只单纯地抽取这行
{
for (k=0;k
{
b[k] = a[i][k];
}
}
else //如果有多行，那么捆绑每一列的和，使之成为一行
{
for (k=0;k
{
b[k] = 0;
for (l=i;l<=j;l++)
{
b[k] += a[l][k];
}
}
}
//这里直接用求求序列的连续最大段就OK了。
}
}
本题的详细完整代码请浏览：
http://blog.csdn.net/jqandjq/archive/2009/02/26/3940653.aspx
求序列的最大上升序列：
经典例题：HDU 1087 Super Jumping! Jumping! Jumping!
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1087
这道理的题意是给一个序列要你求它的最大上升序列（可跳）不用连续
如序列：1 4 7 3 5 6 那么开另一个数组来保存同下标的“最大值”，每一个都要向前找合法的最大b值，如这里的5可以找的合法值为3 4 1，找到最大后便加上同下标的a值，如：
数组a：1 4 7 3 5 6
数组b：1 5 12 4 10 16 à这样找到B中的最大值就OK了！
核心代码：
for (i=0;i
{
b[i] = a[i];
int maxb = 0;
for (j=0;j
{
if (a[i] > a[j])
{
if (b[j] > maxb)
{
maxb = b[j];
}
}
}
b[i] += maxb;
if (b[i] > maxnum)
{
maxnum = b[i];
}
}
本题的详细完整代码请浏览：
http://blog.csdn.net/jqandjq/archive/2009/02/26/3940712.aspx