哈夫曼编码

在计算机数据处理中，霍夫曼编码使用变长编码表对源符号进行编码，出现频率较高的源符号采用较短的编码，出现频率较低的符号采用较长的编码，使编码之后的字符串字符串的平均长度 、期望值降低，以达到无损压缩数据的目的。

举个例子，现在我们有一字符串：

this is an example of a huffman tree

这串字符串有36个字符，如果按普通方式存储这串字符串，每个字符占据1个字节，则共需要36 * 1 * 8 = 288bit。

（字节是计算机处理数据的基本单位， 位（bit) 是储存数据的基本单位， 一个字节byte=8bit位， 一个中文字符通常占两个字节，英文一个）

经过分析我们发现，这串字符串中各字母出现的频率不同，假设我们按如下编码（出现频率较高的源符号采用较短的编码，出现频率较低的符号采用较长的编码）：

字母	频率	编码	---	字母	频率	编码
space	7	111		s	2	1011
a	4	010		t	2	0110
e	4	000		l	1	11001
f	3	1101		o	1	00110
h	2	1010		p	1	10011
i	2	1000		r	1	11000
m	2	0111		u	1	00111
n	2	0010		x	1	10010

编码这串字符串，只需要：

编码这串字符串，只需要：
(7+4+4)x3 + (3+2+2+2+2+2+2)x4 + (1+1+1+1+1+1)x 5 = 45+60+30 = 135bit
编码这串字符串只需要135bit！单单这串字符串，就压缩了288-135 = 153bit。---- 用哈夫曼树来编码

 

2. 哈夫曼树简介

哈夫曼又称最优二叉树。是一种带权路径长度最短的二叉树。它的定义如下：

假设有n个权值{w1,w2,w3,w4...,wn}，构造一棵有n个节点的二叉树，若树的带权路径最小，则这颗树称作哈夫曼树。这里面涉及到几个概念，我们由一棵哈夫曼树来解释

• 路径与路径长度：若规定根节点位于第一层，则根节点到第H层的节点的路径长度为H-1.如树b：100到60 的路径长度为1；100到30的路径长度为2；100到20的路径长度为3。

• 树的路径长度：从根节点到每一节点的路径长度之和。树a的路径长度为1+1+2+2+2+2 = 10；树b的路径长度为1+1+2+2+3+3 = 12.
• 节点的权：将树中的节点赋予一个某种含义的数值作为该节点的权值，该值称为节点的权；
• 带权路径长度：从根节点到某个节点之间的路径长度与该节点的权的乘积。例如树b中，节点10的路径长度为3,它的带权路径长度为10 * 3 = 30；

• 树的带权路径长度：树的带权路径长度为所有叶子节点的带权路径长度之和，称为WPL。树a的WPL = 2*（10+20+30+40） = 200 ;树b的WPL = 1x40+2x30+3x10+3x20 = 190.而哈夫曼树就是树的带权路径最小的二叉树。

• 3.3 哈夫曼树的构造步骤

  假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子节点.n个权值记为{w1,w2,w3...wn},哈夫曼树的构造过程为：

• 将w1,w2,w3...wn看成具有n棵树的森林，每棵树仅有一个节点。
• 从森林中，选取两棵根节点权值最小的树，两棵树分别作为左子树与右子树，构建一棵新树。新树的权值等于左右子树权值之和。

• 图一的树b为一棵哈夫曼树，它的叶子节点为{10，20，30，40}，以这4个权值构建树b的过程为：
  

• 从森林中删除两棵权值最小的树，将构建完成后的新树加入森林中。
• 重复2、3步骤，直到森林只剩一棵树为止。这棵树便是哈夫曼树。
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• 4. 再看哈夫曼编码

  为{10，20，30，40}这四个权值构建了哈夫曼编码后，我们可以由如下规则获得它们的哈夫曼编码：

• 从根节点到每一个叶子节点的路径上，左分支记为0，右分支记为1，将这些0与1连起来即为叶子节点的哈夫曼编码。如下图：

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  （字母）权值	编码
  10	100
  20	101
  30	11
  40	0

  由此可见，出现频率越高的字母（也即权值越大），其编码越短。这便使编码之后的字符串的平均长度、期望值降低，从而达到无损压缩数据的目的。

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