背包问题（3种的小总结）

背包问题

我实在是太弱了，这种东西才会这么点

分类

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1. 完全背包[√]
2. 01背包[√]
3. 多重背包[√]
4. 毫无人性的乱七八糟的坑人专用背包[X]

定义

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首先背包有一个共同的定义：有n种物品，每件物品都有一个价值vi和一个重量wi。（具体每件物品有几件，物品之间有什么主从关系是有分别的）
我们现在有一个背包，容量为c，我们要在容量范围之内（可以不装满）尽量装下价值最大的物品。

完全背包

完全背包的物品数量没有限制，也就是说，每件物品能取无数件。

01背包

顾名思义，每件物品都只能拿一个，每一个都有选和不选（1，0）两个状态

多重背包

和完全背包有些相似，但每种物品只能取ki个

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解决方案

背包问题有一个共同的解题模板：f[0…n][0…c]数组，f[i][j]表示当前的背包容量为j，在前i件中所能达到的最大值。f[n][c]就是最终答案
(然而，还有一种优化方案：f[0…c]。在第j重循环中，f[i]表示当前背包容量为i时，在前j种物品中所能达到的最大值。因为f[]是从后往前计算的，所以f[i-w]是j-1种物品在容量为i-w时所能达到的最大值。所以f[i-w]+v等价于f[j-1][i-w]+v)

1. 完全背包

完全背包的物品数量没有限制，也就是说，每件物品能取无数件。

	int w, v;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		cin>>v>>w;
		for(int j=w; j<=c; j++){/*注意这里是正序枚举！！*/
			f[j] = max(f[j], f[j-w]+v);
			//等价于
			//f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w]+v);
		}
	}

2. 01背包

顾名思义，每件物品都只能拿一个，每一个都有选和不选（1，0）两个状态

int w, v;
for(int i=1; i<=n; i++) {
		cin>>w>>v;
		for(int j=c; j>=w; j--) {/*注意这里是逆序枚举！！*/ 
			f[j] = max(f[j], f[j-w]+v);
			//等价于
			//f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w]+v);
		} 
	}

3. 多重背包

和完全背包有些相似，但每种物品只能取ki个

/*相当于完全背包加k个的限制*/
	int w, v, k;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		cin>>v>>w>>k;
		for(int j=w; j<=c; j++){/*注意这里是正序枚举！！*/
			for(int m=0; m<=k; m++) {//取m个
				if(j>=w*m)//前提能装下m个
					f[j] = max(f[j], f[j-w*m]+v*m);
				//等价于
				//f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w]+v);
			}
		}
	}

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例题

1. 完全背包

完全背包的物品数量没有限制，也就是说，每件物品能取无数件。
洛谷-P1616疯狂的采药

题目描述

LiYuxiang是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。
如果你是LiYuxiang，你能完成这个任务吗？
此题和原题的不同点：
1.每种草药可以无限制地疯狂采摘。
2.药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

输入格式

输入第一行有两个整数T（1 <= T <= 100000）和M（1 <= M <= 10000），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到10000之间（包括1和10000）的整数，分别表示采摘某种草药的时间和这种草药的价值。

输出格式

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

Code

#include 
using namespace std;
/*完全背包*/
const int maxm = 233333;//数组开小了怎么行
int t, m, f[maxm];
int main() {
	cin>>t>>m;
	int w, v;
	for(int i=1; i<=m; i++){
		cin>>w>>v;
		for(int j=w; j<=t; j++){
			f[j] = max(f[j], f[j-w]+v);
		}
	}
	cout<<f[t]<<endl;
	return 0; 
}

2. 01背包

顾名思义，每件物品都只能拿一个，每一个都有选和不选（1，0）两个状态
洛谷-P1048采药

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

第一行有22个整数T(1 \le T \le 1000)T(1≤T≤1000)和M(1 \le M \le 100)M(1≤M≤100)，用一个空格隔开，TT代表总共能够用来采药的时间，MM代表山洞里的草药的数目。
接下来的MM行每行包括两个在11到100100之间（包括11和100100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

11个整数，表示在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

Code

#include
using namespace std;
const int MAXM = 105;
const int MAXT = 1005;
int f[MAXT];
int main(){
	int t, m;
	/*Input*/
	cin>>t>>m;
	/*Find Answer*/
	int w, v;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		cin>>w>>v;
		for(int j=t; j>=w; j--) {/*注意这里是逆序枚举！！*/ 
			f[j] = max(f[j], f[j-w]+v);
			//等价于
			//f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w]+v);
		} 
	}
	cout<<f[t]<<endl;
	return 0;
}

3. 多重背包

和完全背包有些相似，但每种物品只能取ki个

题目描述

抱歉，我没找到QwQ

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总结

世上不是没有水题，而是缺乏一双发现水题的眼睛

• 发现问题的类型
• 记住问题的板子
• 分清计算边界问题
• –适当骗分–