多源汇最短路问题—Floyd算法

对于求多源汇最短路的问题,我们使用Floyd算法。这个算法的实现思路也是很简单的,网上的题解也很多。简单来总结以下,这个算法是基于动态规划的,我们定义d[k, i ,  j]为i点到j点途径k点的最短路径,i, j, k的取值范围为1~n,即图中的每一个点。那么这个状态怎样转化来呢,很简单d[k, i, j] = d[k - 1, i, k] + d[k - 1, k, j],这就是Floyd的状态转移方程。

代码实例:n个点,m条边的有向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数,查询两点间的最短距离,时间复杂度O(n ^ 3)

#include 
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using namespace std;

const int N = 210, INF = 1e9;

int n, m, Q;
int d[N][N];    //邻接矩阵存距离

void floyd()
{
    for(int k = 1; k <= n; k ++)
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
            for(int j = 1; j <= n; j ++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &Q);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)     //初始化距离
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if(i == j)  d[i][j] = 0; //处理自环
            else d[i][j] = INF;
    
    while(m --)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        d[a][b] = min(d[a][b], c);  //处理重环
    }
    
    floyd();
    
    while(Q --)
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        
        int t = d[a][b];
        if(t > INF / 2) puts("impossible");     //存在负边
        else printf("%d\n", t);
    }
    
    return 0;
}

 

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