70-马踏过河卒

问题描述：

$A$ 点有一个过河卒，需要走到目标 $B$ 点。卒行走规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如上图的 $C$ 点），该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。例如上图 $C$ 点上的马可以控制 $9$ 个点（图中的 $P1,P2\cdots P8$ 和 $C$）。卒不能通过对方马的控制点。

棋盘用坐标表示，$A$ 点（$0$，$0$）、$B$ 点（$n$，$m$）、$C$ 点（cx​，cy​）(0<cx​<n≤20，0<cy​<m≤20)。现在要求你计算出过河卒从 $A$ 点能够到达 $B$ 点的路径的条数。注：象棋中马走“日”。

输入格式

输入 $4$ 个整数，$n$，$m$，cx​，cy​，分别表示 $B$ 点的横纵坐标和 $C$ 点的横纵坐标。

输出格式

输出一个整数，代表从 $A$ 点走到 $B$ 点的所有路径数。

样例输入

5 5 2 4

样例输出

14

思路

如果用搜索的方法，每一个点都有向下向左两种方案。2的24次方是1e8级别的，所以这种方法很不好。


如果没有那些卒，从左上角到右下角是一个经典的组合问题，方案数为C(n+m,n)/C(n+m,m)。


现在问题是在表中会有一些障碍，经过这些障碍的方案都将舍去，这时候我们用递推的思想去解决。实际上，上面的组合数公式也是递推得到的结果（组合数本身也有递推方程）：


由于卒只能向下或者向右走，那么想要到达棋盘上的一个点，有两种方式：从左边的格子过来，或者从上边的格子过来。所以，过河卒到达某点的路径数目等于到达与其相邻的左边点和上边点的路径数目和。我们用F(i,j) 来表示到达点 (i,j) 的路径数目。所以递推式为：F(i,j)=F(i-1,j)+F(i,j-1)。根据递推式发现，可以用逐行或逐列的递推方法求出从起点到终点的路径数目。对于边界条件，因为（0，0）是卒的起始位置，那么F(0,0) = 1。

这样先标记好障碍点，那么障碍点这一定Fi,j一定等于0，最终递推得到的Fn,m就是所求方案数了。

代码解析：

#include  
using namespace std;  
typedef long long ll;  
const int maxn=30;  
  
ll  ans[maxn][maxn];  
int vis[maxn][maxn];  
int dir1[8]={1,1,2,2,-1,-1,-2,-2};  
int dir2[8]={2,-2,1,-1,2,-2,1,-1};  
  
int main()  
{  
    int n,m,cx,cy;  
    cin>>n>>m>>cx>>cy;  
    memset(vis,0,sizeof(vis));  
    vis[cx][cy]=1;  
    for(int i=0;i<8;++i){  
        int a=cx+dir1[i];  
        int b=cy+dir2[i];  
        if(a>=0&&b>=0&&a<=n&&b<=n){  
            vis[a][b]=1;  
        }  
    }  
    ans[0][0]=1;  
    for(int i=0;i<=n;++i){  
        for(int j=0;j<=m;++j){  
            if(i){  
                if(vis[i][j]) ans[i][j]=0;  
                else ans[i][j]+=ans[i-1][j];  
            }  
            if(j){  
                if(vis[i][j]) ans[i][j]=0;  
                else ans[i][j]+=ans[i][j-1];  
            }  
        }  
    }  
    cout<