DP--线性DP--【整理】【经典入门例题】

每种类型仅有一个经典的例题，复习一下之前的知识，在学习新知识，不过会推荐一些博客，虽然我也没看过，只是挑一个经典题看看。

1.最长上升子序列（LIS问题）                                                              大佬博客： 最长上升子序列题目大合集

问题描述：给定一个长度n的数列A，求单调递增的子序列的长度最长是多少。

经典基础题：1759:最长上升子序列

描述 一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。 输入 输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。 输出 最长上升子序列的长度。 样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8

样例输出

4

a[ i ]表示第i个数，而h[ i ]表示到第i个数时，它是第几个从第“零”个数延伸到的，相当于如下表格

思路：每访问输入的一个数a[i]，求往前面找比起小的一个数a[j],则h[i]=h[j]+1.状态转移方程：h[i]=max{h[j]+1},j

代码：

#include
using namespace std;
int a[108],h[108];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        h[i]=1;
        for(int j=n-1;j>=1;j--)///向前寻找比a[i]小的数
        {
            if(a[j]

2.最长公共子序列（LCS）

问题描述：给定两个长度分别为N和M的字符串A和B，求既是A的子序列又是B的子序列的字符串长度最长是多少。

转移方程： if（A[i]==B[j]）

边界:f[i,0]=f[0,j]=0     目标：f【N,M】   状态表示：f[i,j]表示前缀子串A【1~i】与B【1~j】的最大公共子序列

经典例题：

例题1:最长公共子序列(POJ1458）大佬博客：动态规划典型例题详解（最长公共子序列(POJ1458)， Help Jimmy(POJ1661)）
给出两个字符串，求出这样的一 个最长的公共子序列的长度:子序列 中的每个字符都能在两个原串中找到， 而且每个字符的先后顺序和原串中的 先后顺序一致。 
输入 
abcfbc abfcab 
programming contest 
abcd mnp 
输出 
4 
2 
0

大佬思路：

解题思路： 
遇见动归问题，第一步需要考虑状态是什么。 
输入两个串s1,s2 
设MaxLen(i,j)表示:s1的左边i个字符形成的子串，与s2左边的j个 字符形成的子串的最长公共子序列的长度(i,j从0 开始算)，则MaxLen(i,j) 就是本题的“状态” 
第二步，就是动用小脑子了，考虑下可能的情况还有递推公式。 
对这道题来说 
MaxLen(n,0) = 0(这里的n是属于s1的) 
MaxLen(0,n) = 0(这里的n是属于s2的)

递推公式： 
if(s1[i - 1] == s2[j - 1]) 
MaxLen(i,j) = MaxLen(i - 1,j - 1) + 1; 
else 
MaxLen(i,j) = Max(MaxLen(i,j - 1),MaxLen(i - 1,j)); 
注：s1[i - 1] != s2[j - 1]时,MaxLen(s1,s2)不会比MaxLen(s1,s2j - 1)和MaxLen(s1i - 1,s2)两者之中任何一个小，也不会比两者都大。

分析：动态规划现在的状态是由前一个状态通过max或min比较得来，由状态表示方程可知 通过枚举一个A【1~i】的元素与另一个串里B【1~j】里的元素比较相同就+，不同就选取最大的

代码：

#include
using namespace std;
int maxx[108][108];
int main()
{
    string s1,s2;
    while(cin>>s1>>s2)
    {
       int  length1=s1.length();
       int length2=s2.length();
       for(int i = 0 ; i <= length1 ; i++)
            maxx[i][0] = 0;
       for(int j = 0 ; j <= length2 ; j++)
            maxx[0][j] = 0;
       for(int i=1;i<=length1;i++)
       {
           for(int j=1;j<=length2;j++)
           {
               if(s1[i-1]==s2[j-1])
               {
                   maxx[i][j]=maxx[i-1][j-1]+1;
               }
               else
                maxx[i][j]=max(maxx[i][j-1],maxx[i-1][j]);
           }
       }
        printf("%d\n",maxx[length1][length2]);
    }
    return 0;
}

3.数字三角形

问题描述：给定一个共有n行的三角形矩阵A,其中第i行有i列。从左上角出发，每次可以向下方或者右下方走一步，最终到达底部。求把经过的所有位置的和加起来，和最大是多少。

状态表示：f【i】【j】表示从左上角走到第i行第j列，和最大是多少。 

阶段划分：路径的结尾位置（矩阵中的行，列位置，即一个二维坐标）

边界：f[1,1]==A[1,1]  目标：max{f[N,j]}

通过一道例题理解：

描述

如下所示的由正整数数字构成的三角形: 
7 
3 8 
8 1 0 
2 7 4 4 
4 5 2 6 5 

从三角形的顶部到底部有很多条不同的路径。对于每条路径，把路径上面的数加起来可以得到一个和，和最大的路径称为最佳路径。你的任务就是求出最佳路径上的数字之和。 
注意：路径上的每一步只能从一个数走到下一层上和它最近的下边（正下方）的数或者右边（右下方）的数。

输入

第一行为三角形高度100>=h>=1，同时也是最底层边的数字的数目。
从第二行开始，每行为三角形相应行的数字，中间用空格分隔。

输出

最佳路径的长度数值。

样例输入

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
或
1
8

样例输出

30
或
8

分析：后一个状态由前面一个状态所确定，令f【】