NFA转DFA的子集构造(Subset Construction)算法详解

之前学习编译原理的时候老师有讲过子集构造法，当时我以为自己听懂了，信心满满。可是这两天我做了一些题目，发现自己实际上还是太嫩了，学习浮于表面。之后又重新看了龙书和虎书，对子集构造法有了更深层次的了解。特此发出一篇文章分享我的经验。

1 概念

概念是我们学习编译原理的重中之重，虽然他很晦涩难懂，但我有必要将其放在最开始。

1.1 虎书概念

虎书的概念更偏向于理论化，我当时看的时候一头雾水，但是不要担心，之后会一点一点解释的。

首先，我们形式化定义$ϵ$闭包如下：

• $edge(s,c)$：状态$s$沿着标有$c$的边可到达的所有NFA状态的集合；
• $closure(S)$： 对于状态集合$S$，从$S$出发，只通过$ϵ$边可以达到的状态集合；
  • 这种经过$ϵ$边的概念可以用数学方法表述，即$closure(S)$是满足如下条件的最小集合$T$：
    $T=S\cup \left({\bigcup }_{s\in T}edge(s,ϵ)\right)$
  • 我们可以用迭代法来算出$T$：
    $$\begin{gathered} T\leftarrow S \\ repeat{T}^{\prime }\leftarrow T \\ T\leftarrow T^{\prime }\cup \left({\bigcup }_{s\in T^{\prime }}edge(s,ϵ)\right) \\ untilT=T^{\prime } \end{gathered}$$

解释一下：当我们位于一个状态集合$S$，$S$里任意状态经过若干$ϵ$能够到达的状态，都将包含在 $closure(S)$ 里。

• 龙书里将这个操作定义为$ϵ-closure(T)$($T$为状态集合)。

现在，假设我们位于由NFA状态$s_i,s_k,s_l$组成的集合$d=\{s_i,s_k,s_l\}$中。从$d$中的状态出发，输入符号$c$，将到达NFA新的状态集；我们称这个状态集为$DFAedge(d,c)$：

• $DFAedge(d,c)=closure\left({\bigcup }_{s\in d}edge(s,c)\right)$

解释一下：将遍历集合$d$中的所有状态，得到 $d$ 关于$T=edge(s,c)$的状态集，并对 $T$ 求 $closure(T)$，得到的即为$DFAedge(d,c)$。简而言之，就是从一个状态集，经过一个输入到达的状态集为 $T^{\prime }=DFAedge(d,c)$。

利用$DFAedge$能更形式化地写出NFA模拟算法。如果初态是$s_1$，输入字符串是$c_1,...,c_k$，则算法为：

• $$\begin{gathered} d\leftarrow closure(\{s_1\}) \\ fori\leftarrow 1tok \\ d\leftarrow DFAedge(d,c_i) \end{gathered}$$

有了$closure$和$DFAedge$算法，就能构造出DFA，DFA的状态$d_1$就是$closure(s_1)$。抽象而言，如果$d_j=DFAedge(d_i,c)$则存在一条从 $d_i$ 到 $d_j$ 的标记为 $c$ 的边。令 $\Sigma$ 是字母表：

• $$\begin{gathered} states[0]\leftarrow \{\};states[1]\leftarrow closure(\{s_1\}) \\ p\leftarrow 1;j\leftarrow 0 \\ whilej\le p \\ foreachc\in \Sigma \\ e\leftarrow DFAedge(states[j],c) \\ ife=states[i]forsomei\le p \\ thentrans[j,c]\leftarrow i \\ elsep\leftarrow p+1 \\ states[p]\leftarrow e \\ trans[j,c]\leftarrow p \\ j\leftarrow j+1 \end{gathered}$$

解释一下：$state[]$代表了最终DFA的一个状态所对应的NFA状态集，$s_1$为初始状态，$closure(\{s_1\})$代表了初始状态$s_1$的闭包。上文中的代码实际上和龙书的代码一个意思，龙书的代码更加简单直白，所以这里可以跳过。等看完下面的龙书再回头来看

1.2 龙书概念

个人认为龙书的概念更加通俗易懂，但是由于没有数学公式的归纳，导致理论基础不扎实，有点慌。所以推荐两本书一起看。

首先，是概念：

• 子集构造法的基本思想是让构造得到的DFA的每个状态对应NFA的一个状态集合。DFA在读入$a_1{a}_2...a_n$之后到达的状态应该对应于相应的NFA从开始状态出发，沿着以$a_1{a}_2...a_n$为边的路径能达到的状态的集合。

解释一下：概念很直观哈，我就不解释了^_^

接着，是算法：

• 输入：一个NFA N
• 输出：一个接受同样语言的DFA D
• 方法：我们为算法 D 构造一个转换表$Dtran$。D的每个状态是一个NFA集合，构造$Dtran$，使得 D “并行地”模拟 N 在遇到一个给定输入串可能执行的所有动作。下面我们给出一些函数的定义：

操作	描述
$ϵ-closure(s)$	能够从NFA状态$s$开始只通过$ϵ$转换到达的NFA状态集合
$ϵ-closure(T)$	能够从$T$中某个NFA状态$s$开始只通过$ϵ$转换到达的NFA状态集合，即 ${\bigcup }_{s\in T}ϵ-closure(s)$
$move(T,a)$	能够从 $T$ 中某个状态 $s$ 出发通过标号为 $a$ 的转换到达的NFA状态的集合

• 在读入第一个符号之前，N可以位于集合$ϵ-closure(s_0)$中的任何状态上 ，其中，$s_0$是 N 的开始状态。
• 下面进行回归纳：假定N在读入输入串$x$之后可以位于集合T的任意状态上。如果下一个输入符号是 $a$，那么N可以立即移动到集合$move(T,a)$中的任何状态。然而，N 可以读入$a$之后再执行几个$ϵ$转换，因此 N 在读入$xa$之后可以位于$ϵ-closure(move(T,a))$中的任意状态上。接着我们可以构造出转换函数$Dtran$：
  • 一开始，$ϵ-clusure(s_0)$是$Dstates$的唯一状态，且它未标记(请注意，“标记”是非常重要的概念)；
  • $$\begin{gathered} while(在Dstates中有一个未标记的状态T)\{ \\ 给T加上标记; \\ for(每个输入符号a)\{ \\ U=ϵ-clusure\left(move(T,a)\right) \\ if(U不在Dstates中) \\ 将U加入Dstates中，且不加标记; \\ Dtran[T,a]=U \\ \} \\ \} \end{gathered}$$

解释一下：这部分代码和虎书上的代码意思相近，这个更好理解。算法里的$Dtran[T,a]=ϵ-clusure\left(move(T,a)\right)$每个$Dtran[T,a]$都可能是DFA的一个状态。

2 举个例子解释

• 题目：给定一个正则表达式$(a|b{)}^{\ast }abb$的NFA，我们使用子集构造法构造DFA。
  
• 解法：首先，我们分析得出，NFA的初始为状态0。因而初始状态集$A=ϵ-closure(0)=\{0,1,2,4,7\}$。
  1. $A$被加上标记，对于输入符号$a,b$，分别求出:
     $$\begin{gathered} a:B=ϵ-closure(move(A,a))=\{1,2,3,4,6,7,8\} \\ b:C=ϵ-closure(move(A,b))=\{1,2,4,5,6,7\} \end{gathered}$$
  2. $B,C$都没有被标记，因而将$B,C$依次加上标记，对于输入符号$a,b$，分别求出:
     $$\begin{gathered} a:B=ϵ-closure(move(B,a))=\{1,2,3,4,6,7,8\} \\ b:D=ϵ-closure(move(B,b))=\{1,2,4,5,6,7,9\} \end{gathered}$$
     $$\begin{gathered} a:B=ϵ-closure(move(C,a))=\{1,2,3,4,6,7,8\} \\ b:C=ϵ-closure(move(C,b))=\{1,2,4,5,6,7\} \end{gathered}$$
  3. 现在只剩$D$没有加标记，因而给$D$加上标记，对于输入符号$a,b$，分别求出:
     $$\begin{gathered} a:B=ϵ-closure(move(D,a))=\{1,2,3,4,6,7,8\} \\ b:E=ϵ-closure(move(D,b))=\{1,2,4,5,6,7,10\} \end{gathered}$$
  4. 还剩一个$E$没有标记，因而给$E$加上标记，对于输入符号$a,b$，分别求出:
     $$\begin{gathered} a:B=ϵ-closure(move(E,a))=\{1,2,3,4,6,7,8\} \\ b:C=ϵ-closure(move(E,b))=\{1,2,4,5,6,7\} \end{gathered}$$
  5. 所有构造出来的集合都已经被标记，构造完成！$A,B,C,D,E$为五个不同状态：
     $$\begin{gathered} A=\{0,1,2,4,7\} \\ B=\{1,2,3,4,6,7,8\} \\ C=\{1,2,4,5,6,7\} \\ D=\{1,2,4,5,6,7,9\} \\ E=\{1,2,4,5,6,7,10\} \end{gathered}$$
  6. 接着就是根据状态来画图了，最好先画好状态表：
     

解释一下：由此可知，$A$通过$a$，连到$B$，以此类推。就可以做出DFA图了^_^

3 如何最小化DFA的状态数量

很简单，如果开始于$s_1$的机器接收字符串$\sigma$，始于$s_2$的和始于与$s_1$接收的串相同，并到达相同状态，且两个状态集同为终态或者非终态，那么$s_1,s_2$是等价的。我们可以把指向$s_2$的连线全部指向$s_1$，并删除$s_2$，反之亦然。

• 举个书上的例子：
  
• 图中的$\{5,6,8,15\},\{6,7,8\}$是等价的，还有$\{10,11,13,15\},\{11,12,13\}$也是等价的。

Tips：在判断是否等价前，我们要先判断是否为死状态哦(1.不能到达终态 2.从开始没有路径指向这个状态)。

4 总结

NFA转DFA知识总结就到这里，有什么问题请留言，有错误请批评指正，非常感谢您的阅读。