递归简析

递归简析

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递归。简单吗？也许吧。但是对我来说，这个东西，太深奥了。

先扯远点，有句话叫“滴水见海，一叶见春”嘛。所以很多巨大的东西（比如说宇宙）可以无限的缩小，缩小到一个点（比如说原子）或者说巨大的东西都是由细小的东西构建起来的。这正是递归的根本思想。

所以，是不是觉得递归很神奇？？

言归正传。何为递归？一般的算法书上可以把它 概括为函数对自身的调用就是递归。因为递归这种算法可以把原问题转变为规模较小的问题。它的特点是代码通常简洁√易懂？

递归又分为两类，一种是函数直接调用自身，我们称之为直接递归；还有一种是函数间接调用自身，称为间接递归。[a调用b,b又调用a的递归]

递归其实没什么好说的，打个比方，就是假设你站在一座高楼上，一眼望不到底，而你想知道这座楼到底有多少层，所以你就从上往下一点点找，最后找到了最底层【假设你找的时候忘记了数】、然后找到后再一层一层向上数，最后数到你所在的层数，返回答案。这就是递归的全过程 。

所以，一言以蔽之：往返、双向。

But，递归有一个重要的限制就是终止条件是否恰当。这不仅仅影响着程序结果的准确性，更能让你的程序直接挂掉，甚至让编译器炸掉。

//如果你不信的话，可以调用主函数main()。。。

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然后我们可以举一些例子来证实一下：

• 如何递归的求解X^n?

首先我写了一个下面的东西 ：

    #include 
    #include 
    int x,n,tot;
    int f(int x)
    {
        ++tot;
        if(tot==n)return x;
        return f(x)*x;
    }
    int main()
    {
        scanf("%d%d",&x,&n);
        printf("%d\n",f(x));
        return 0;
    } 

但是好像跟标程相比，感觉怪怪的。。：

    #include 
    int n,x;
    int f(int n)
    {
        if(n==0)return 1;
        else return x*(f(n-1));
    }
    int main()
    {
        scanf("%d%d",&x,&n);
        printf("%d\n",f(x));
        return 0;
    }

虽说函数中调用自己就算是递归，但是总感觉很难掌握这个东西的精髓所在。
貌似递归一定要有一个if(...) return 1/0;

但话也不能说的太绝对。谁说一定要有什么呢？总之吧，递归的应用可是相当大的：

• GCD/LCM
  不用递归？You are kidding~

GCD(int a,int b){return a%b==0?b:GCD(b,a%b);}

• 分治算法中的二分查找/答案

• 递归输出路径

当我们做图论的题的时候，很多时候都会要求你输出一组或多组路径。但这个时候，当我们BFS时，根本不清楚到底哪条路才是我们所要的路径，所以通常我们会用一个pre[]数组，记录这个点的父亲v->u
然后递归着找’爹’，并输出答案

• 汉诺塔问题

因为人类发明了递归，所以可以解决一些正常人根本解决不出来的问题，比如说《少年班》中，周老师选人时的问题“20阶台阶，每次可以上一级或两级，一共有多少种方法？”抛开电影不谈，这个问题本来就很复杂，可以用到BFS的思想，假设把这个问题看成一张图，那么从根节点开始，每一个点都有两种选择，1或者2，这样似乎可以形成一个满二叉树的图形，但是这仅仅是20的范围，最坏情况会有2^10~2^20种选择。所以，交给计算机吧。

    #include 
    int n;
    int f(int n)
    {
        if(n==1)return 1;
        else if(n==2)return 2;
        else return f(n-1)+f(n-2);
    }
    int main()
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",f(n));
        return 0;
    }

好像是挺简洁易懂的。

但话说回来，标题不是 汉诺塔 问题吗？！。。

汉诺塔问题是递归中的经典之作，由它所衍生的各种变态加强版的汉诺塔23456等等都十分变态，在这里不过多说明，不久会对此作专门介绍。

• 升级版暴力

当你在考场上不知所措的时候，不妨想想 这个东西。可能它的效率超乎你的想象，不能Ac至少也比普通的暴力要好一些。所以好好用吧。。

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敬请期待 递归专场二 ———— hanoi 系列！！！

11/1/2015 7:42:43 AM