小算法系列-反转棋盘

最后两步结论的得出很不一般啊～ 一开始确实也被题目迷糊蒙了

 

一个N*M大小的棋盘，每个格子都是0或者1，N和M都是奇数。你每次可以选择反转一行或者一列，被反转的行或列的所有0变成1，所有1变成0。要求使用最少的反转次数，使得每行每列的1的个数是偶数。

输入格式：从键盘输入，第一行是两个正整数N和M，用空格隔开，都不超过20，都是奇数。接下来有N行，每行M个数，都为0或者1，表示棋盘上的数，数字用空格分隔。

输出格式：只有一个数字，表示最少的反转次数。如果不可能通过有限次反转使每行每列的1的个数是偶数，则输出-1。

[输入样例A] 3 3 1 1 1 0 1 1 0 0 1 [输出样例A] 2

[输入样例B] 5 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [输出样例B] 3

#include
using namespace std;

int min(int a, int b)
{
 return a < b ? a : b;
}

int main()
{
 int N, M;
 cin >> N >> M; // 读入N行和M列
 int Board[20][20]; // 存储棋盘初始情况
 for (int i = 0; i < N; i++)
  for (int j = 0; j < M; j++)
   cin >> Board[i][j];

 int Ro = 0;  // 有奇数个1的行的数目
 for (int i = 0; i < N; i++)
 {
  int temp = 0; // 用于统计每行的1的个数
  for (int j = 0; j < M; j++)
   temp += Board[i][j];
  Ro += temp % 2; // 如果是奇数则加1
 }
 int Co = 0;  // 有奇数个1的列的数目
 for (int j = 0; j < M; j++)
 {
  int temp = 0; // 用于统计每列的1的个数
  for (int i = 0; i < N; i++)
   temp += Board[i][j];
  Co += temp % 2; // 如果是奇数则加1
 }

 if (Ro % 2 == 0)  // 是偶数
  cout << min(Ro + Co, N - Ro + M - Co) << endl;//解释在下面
 else
  cout << min(Ro + M - Co, N - Ro + Co) << endl;//解释在下面
 return 0;
} 

 

乍一看被这个题目吓了一下，没摸清方向，只是觉得转一次行的话，列的又变了，感觉似乎有点复杂。静下心来想想似乎也不是那么复杂了。

 

仔细分析一下这个题目，如果行反转奇数次的话，则列的奇偶会变化，但是如果反转偶数次的话，则列的奇偶不会变化。并且行反转奇数次的话，那么列的1的奇偶数目会交互，比如列原来有2个奇数列一个偶数列，则行反转1次后，列变为1个奇数列两个偶数列。

 

因此，如果行的为奇数个1的行数为奇数个的话，则列肯定也是奇数个，不然就没办法达到最终结果。（此过程验证了行和列中1为奇数的数目必须同时为奇数或者同时为偶数）

 

OK，现在假设N*M的棋盘，行为奇数个1的行数目以及偶数个1的行数目分别为x,y，列的为p,q，显然x + y = N, p + q = M，且如果x为奇数的话，p也为奇数。

1、现在假设我们优先反转行为偶数，则显然我们需要反转x次，如果x为偶数的话，p肯定也为偶数，且反转完之后p和q没有变化，接着需要反转p次列，既总的反转次数为x+p次。而如果x为奇数的话，p肯定也为奇数，且反转完之后，p和q交互了，既反转完后，列的为奇数个1的列数目为偶数，因为M为奇数，p为奇数，则q必然为偶数，则列需要反转q次，总的次数为M-p+x (x + q)

。。。。其他过程同理

 

先反转奇数

x为奇数时，行优先总反转次数为：M-p+x  列优先总反转次数为：N-x+p

x为偶数是，行优先和列优先一样，总反转次数为：x + p

先反转偶数

x为奇数时，行优先总反转次数为N-x+p，列优先总反转次数为：M - p + x

x为偶数是，行优先和列优先一样，总反转次数为N-x + M-p

 

得出：

1：行和列里1个数都为偶数时，最少次数为x + p 和 N-x+p 里面较小的那个。

 

2：行和列里1个数都为奇数时，最少次数为N-x+p 和 M - p + x 里面较小的那一个。