[辗转相除法]求最大公因子

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一、递归版本

二、算法正确性证明

三、非递归版本

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一、递归版本

/* 
 * Copyright (c) 2014, 烟台大学计算机与控制工程学院
 * All rights reserved.
 * 作    者：何小乐
 * 完成日期：2014/10/29
 * 修改日期：2018/10/3
 * 版 本 号：v1.1
 *
 * 名字：gcd_recursive
 * 描述：使用递归的方法得到两个整型数的“最大公因子”
 * 参数约定： a != 0
             b == 0时表示此时a为两个数的最大公因子
 * 返回值意义：0表示参数异常
 */
int gcd_recursive(int a, int b)
{
    if(a == 0)
        return 0;

    if(b == 0)
        return a;

    return gcd_recursive(b, a % b);
}

二、算法正确性证明

证明对 a, b 求最大公因子可以转化为对 b, a % b 求最大公因子

设

| a | > | b |（| a | < | b |时交换 a, b 的位置继续证明）（取绝对值的原因是考虑到 a, b 可能是负数）

a, b 的最大公因子为 g （ | g | >= 1, 因为 a, b 至少有 1 作为最大公因子）

则 a, b 可以表示为

a = m * g

b = n * g

设

a % b 的商为 x，余数为 y，则有

a = b * x + y

y = a - b * x = m * g - n * g * x = ( m - n * x ) * g

因为

1 <= | a, b, y 的最大公因子 | <= | a, b 的最大公因子 |（| 3个数的最大公因子 | <= | 任意其中2个数的最大公因子 |）

a, b 的最大公因子为 g

g 是 y 的因子

所以

g 也是 a, b, y 的最大公因子

因为

| a | > | b | >= | y |

所以

a, b 求解最大公因子可以转化为对2者的更小规模 b, y 即 b, a % b 求解

证毕

 

三、非递归版本

递归版本随着递归深度的增加而用于存储函数信息的内存变大

/*
 * 名字：gcd
 * 描述：gcd_recursive的非递归版本
 * 参数约定：同gcd_recursive
 * 返回值意义：同gcd_recursive
 */
int gcd(int a, int b)
{
    if (a == 0)
        return 0;
    
    if (b == 0)
        return a;

    int r;

    while ( (r = a % b) != 0) // 等于0时代表a可以被b整除，即b为a，b的最大公因子
    {
        a = b;
        b = r;
    }

    return b;
}