组合博弈基础 -- 三大基本博弈+斐波那契博弈

#define P(positive) 必胜态
#define N(negative) 必败态

巴什博奕（Bash Game）

有一堆石子n个 , 每次可以取1~m个石子 , 没有石子可取的那方输 , 问第一个取的人的输赢

给对面一个m+1的堆 , 无论对面取多少 , 你都可以取一个数使这堆石子取完

所以说你要设法取一个数使堆剩下$k(m+1)$给对面

int main(){
    LL t;sf(t);
    while(t--){
        LL n,m;sf(n),sf(m);
        if(n%(m+1))printf("first\n");//可以把k*(m+1)这个状态给对面
        else printf("second\n");//到自己手上的状态是k*(m+1)
    }
}

变形(最后取的输) :

只要留一块给对面就赢了,所以判断(n-1)%(m+1)

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威佐夫博奕（Wythoff Game）

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

我们用$(a[k]，b[k])$表示两堆物品的数量并称其为局势，显然(0，0)为必输局势，这种必输局势我们称为奇异局势。

前几个奇异局势是：（0，0）,（1，2）,（3，5）,（4，7）,（6，10）,（8，13）,（9，15）,（11，18）,（12，20）

a[k]为前k-1中的a[i]b[i]中未出现的最小非负整数 , b[k]=a[k]+k (a[0]=b[0]=0)

公式 :

$a[k]=[k(1+\surd 5)/2],b[k]=a[k]+k$

性质 :

1. 每个自然数只会出现在一个奇异局势¹
2. 奇异局势在一次操作后变成非奇异局势²
3. 非奇异局势可以在一次操作后变成奇异局势³

奇异局势判断 :

直接判断小的那堆能不能写成上面a的公式$(k=b-a)$

int main(){
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF){
         if(a>b)swap(a,b);
         int k=b-a;
         int ans=(a!=floor(k*(1.0+sqrt(5.0))/2));
         printf("%d\n",ans);//0必败态 1必胜态
    }
    return 0;
}

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尼姆博奕（Nimm Game）

有k堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

对于多堆石子$(a_1,a_2,a_3...a_k)$ , 如果所有都是0 , 那么是一个N态

当多堆石子异或后结果为0 , 则是一个N态 , 否则为P态⁴

int main(){
    int m,ans,n;
    while(~scanf("%d",&m)){
        n=ans=0;
        while(m--)
            scanf("%d",&n),ans^=n,printf("ans=%d\n",ans);
        if(ans)printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
    }
}

证明:

当你拿到一个异或为0的状态(没取完) , 取任意一个数 , 这个数因为不能是0 , 所以在二进制中一定有几位会是1 , 也就是说剩下的异或后不会是0即还有石子没取完

而可以证明对方可以取一个数使剩下的石子数异或为0 , 即:维护异或为0的状态

证明 : 假设异或后为(1010) , 那么一定会有一堆石子的大小大于>=(1000) , 我们对于这堆取出(1000) , 剩下的就变成了(0010) , 这个时候我们再塞回去(0010) ( 这个是重点 , 塞在自己的堆里面 , 和别的堆的0010异或后为0000 , 如果0010是自己堆的就更好处理了 , 直接取掉变成0就可以了 ) , 就可以了

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斐波那契博弈（Fibonacci Game）

有一堆石子,两个人轮流从其中取走一定的石子,取走最后所有石子的人为赢家,不过得遵循如下规则:
1.第一次取不能取完,至少取1颗.
2.从第二次开始,每个人取的石子数至少为1,至多为对手刚取的石子数的两倍。

当n为Fibonacci数时，先手必败。否则先手必胜

证明：根据“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。如n=83 = 55+21+5+2，假如先手取2颗，那么后手无法取5颗或更多，而5是一个Fibonacci数，那么一定是先手取走这5颗石子中的最后一颗，同理，接下去先手取走接下来的后21颗中的最后一颗，再取走后55颗中的最后一颗，那么先手赢。

反之：如果n是Fibonacci数，如n=89：记先手一开始所取的石子数为y
（1）若y>=34颗（也就是89的向前两项），那么一定后手赢，因为89-34=55=34+21<2*34。
（2）y<34时剩下的石子数x介于55到89之间，它一定不是一个Fibonacci数，把x分解成Fibonacci数：x=55+f[i]+…+f[j]，若，如果f[j]<=2y，那么对B就是面临x局面的先手，所以根据之前的分析，后手只要先取f[j]个即可，以后再按之前的分析就可保证必胜。

注脚 :

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1. 显然 , a是递增的 , 而k也是递增的 , 所以b是递增的 , 所以只需要排除a和b重复的情况 .
   设$a[i],b[j]$ , 如果$i<j$ , 那么$b[j]>a[i]$ ; 反之 , a是会选择前面没有出现过的数 , 自然不会选和b相同的数 ↩︎

2. 减一个数的话 , 因为所有数不重复 , 另一个数肯定不会和剪掉后的那个数匹配
   两个减去相同数 , 因为k也是不会重复的 , 所以剪完后也不会是奇异局势 ↩︎

3. 对于每个数 , 一定可以找到一组奇异局势满足这个数在其中出现 , 那么如果匹配了a , 局势中的b比你手中的b小 ,你就可以得到局势中的b ; 如果不行就匹配b , 可证明a或b一定有一个可以完成匹配 ↩︎

4. ↩︎