3Blue1Brown-线性代数的本质
01：什么是向量？
02：线性代数组合、张量的空间与基
线性组合：
向量的相加和数乘运算就是向量的线性组合。
张成空间：
用两个向量相加和数乘表示的全部的向量的集合。
线性相关：
一组向量中，有向量在由其他向量组成的张成空间中，这一组向量就是线性相关。
线性无关：
一组向量中，任何一个向量都不在其他向量的张成空间中。或者说，增加一个向量，组成的张成空间的向量维度加一。
基：
向量空间中的一组基是张成该空间的一个线性无关的向量集。
03：矩阵和线性变换
变换
“变换”的本质是函数的一种花哨的说法。它接收输入的内容，并输出对应的结果。在线性代数中，输入的是某个向量，输出是对应的另一个向量。
线性变换
满足两个条件的变化为线性变换；
其一：直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲。
其二：原点必须保持固定。
把线性变换看成是“保持网格线平行且等距分布”的变换。
线性变换过程
使用变换后的基坐标计算出变换后的坐标。
矩阵：变换后的基坐标放在一起，形成一个矩阵
特殊的，将变换后的i表示为列向量(a,c)，变换的j表示为(b,d)。将变换作用于(x,y)。计算的过程如下。
将矩阵看做是一种空间变换，即看出一个函数。输入一个向量，经过矩阵之后得出另一个向量。
将矩阵看成是一个线性变换，一个向量与矩阵相乘看成线性变换对矩阵的作用。
04：矩阵乘法与线性变换
矩阵相乘
两个矩阵相乘有着几何意义，也就是两个线性变换相继作用。
将矩阵相乘看做是多个线性变换的共同结果。
三维空间中的线性变换
用3*3的矩阵来表示改变后的基向量，这个矩阵和向量相乘就可以得到基向量变换后向量的变化结果。
多次变化也是一样的情况，多次变化就是多个矩阵相乘，从右到左依次变换。
05：行列式
如何测量变换究竟对空间有多少拉伸或者挤压？更具体一点就是测量一个给定区域面积增大或减小的比例。
行列式——二维矩阵
线性变换对面积产生改变的比例被称为这个变换的行列式。
一个行列式的值为3，就是说这个变换将区域面积变成了原来的3倍。
如果一个二维矩阵的行列式为0说明它将整个平面压缩到一条线，甚至是一个点上。
行列式是否为0，表示了这个矩阵所代表的变换是否将空间压缩到更小的维度上。
行列式为负值，说明了变换反转了空间的取向。
行列式——三维矩阵
二维空间中变换矩阵的行列式代表面积的变化，而在三维矩阵变换中代表的是体积的变化（平行六面体的体积）。
三维矩阵的行列式为0，表示变换后的空间可能是一个平面，或者是一条直线、甚至是一个点。同时，也表示了矩阵的列必然线性相关。
三维行列式为负数时，表示变换反转了空间的取向。取向为正时满足右手定则。
06：逆矩阵、列空间、秩、零空间
线性方程组
只由数乘和加法组成的方程组。
将系数组成一个矩阵A（系数矩阵），未知变量（x,y,z,...）组成向量x，右边的常数项组成向量v（b1,n2,b3,...）。求解方程组就等效找到一个向量x，在A的空间变换后，向量x与向量v重合。
系数矩阵A的行列式不为零
|A|不等于0-->变换后的空间比例不为0-->方程有唯一的解。
|A|不等于0-->有可逆矩阵-->在A变换后，在用A的逆变换会回到原来的位置。
系数矩阵A的行列式为零
变换经空间压缩到了更低的维度上。
变换是不可逆的，比如变换后二维平面变成了一维的直线。那么，一维的直线是不可能变换为二维的平面的，此时的变换矩阵是没有逆的。
三维空间的系数矩阵为0时，变换的结果可能为二维平面，可能为一维直线，也可能为一个点。二维平面比一维直线存在解的可能性更大，维度降低的越多，存在解的情况就越小。
秩
变换后的空间的维度为秩。
列空间
不管是一条直线、一个平面还是三维空间等，所有可能的变换结果的集合被称为矩阵的“列空间”。
列空间就是矩阵的列所张成的空间。
列空间的维度就是秩。
列空间表示了什么时候有解，什么时候无解。
零空间
线性变换后落在原点的向量的集合被称为矩阵的零空间或核
当向量v为0时，零空间给出的就是这个向量方程所有可能的解。
零空间有助于我们理解所有可能的解的集合是什么样的。
非方阵
比如一个二维向量到三维向量的变换。
一个3*2的矩阵，表示了将一个二维空间映射到三维空间上。矩阵有两列表示输入空间有两个基向量。有三行表示每个基向量在变换后都用三个独立的坐标描述。
一个2*3的矩阵，矩阵三列表示原始空间有三个基向量，也就是原始空间有三维，输入的空间是三维的。有两行表示这三个基向量在变换后都仅用两个坐标来描述，即输出的空间为2维。
一个1*2的矩阵，变换后由两个基向量组成。这类的变换和向量的点积有着很密切的关系。
07：点积和对偶性
点积
维度相同的两个矩阵，对应的维度系数相乘，然后再相加，结果为一个数。
从几何角度理解点积就是一个向量V在另一个向量W上的投影，然后将投影乘以W，也可以相反。
点积的运算与顺序无关。
为什么两种方法计算点积的结果是一样的，投影法和对应相乘相加是一样的？----对偶性
对偶性
1*2矩阵和二维的空间有着某种对应的关系。（将一个二维空间向量横着放就是1*2矩阵，将1*2矩阵竖着放就是二维空间向量）
矩阵向量乘积和点积的关系。
有一个从二维空间到数轴的线性变换，它并不是由向量数值或点积运算定义得到的，而是将通过空间投影（也就是变换）到给定数轴上来定义的。
对偶性：两种数学食物之间自然而又出乎意料的对应关系。
一个向量的对偶是由它定义的线性变换。
一个多维空间到一维空间的线性变换的对偶是多维空间中的某个特定向量。（二维到一维的变换的对偶是二维空间中的一个特定向量）
两个点积相乘就是将其一个向量转化为线性变换。把向量理解为线性变换的载体，向量就仿佛是一个特定的概念性记号。
点积和线性变换的关系是属于对偶性的一种。
08：叉积
叉积的标准介绍
直观理解：二维：叉积就是两个向量组成的平行四边形的面积。
如何计算叉积？v和w的叉积就是将v和w线性变换后的面积大小，就也是矩阵[v,w]的行列式大小。
三维：叉积的结果不是一个数，而是一个向量。这个向量的长度就是等于平行四边形的面积。向量的方向是和平行四边形垂直，且满足右手定则。
为什么叉积的向量和行列式的计算有关系，且要将基向量放在行列式的第一列？——对偶性的关系
从线性变换角度深入理解
点积和对偶性的回顾。当你看到一个从（多维）空间到数轴（一维空间）的线性变换时，你都可以找到一个（多维空间中的）向量，这个向量称为这个变换的对偶向量。
1、定义一个三维到一维的线性变换，并且它是根据向量v和向量w来定义的。
2、然后当我们将这个变换与三维空间中的对偶向量关联时，也就是找到它的对偶向量。
3、说明这个对偶向量就是v和w的叉积。
找到一个线性函数:f(x,y,z)，这个函数是线性的。（为什么是线性的，通过行列式来说明？）
只要是线性的函数就可以使用对偶性的思想，从空间到数轴的线性变换。----对偶向量。知道这个函数是线性的就可以通过矩阵的乘法来描述这个函数。
用点积来表示：P与某个向量(x,y,x)相乘时，结果为(x,y,x)和v与w确定的平行六面体的有向体积。
P·(x,y,z)的几何解释就是(x,y,z)在P上的投影，然后再相乘。
行列式的几何意义在于，(x,y,z)在平行四边形上的垂直投影，再乘以平行四边形。
故得出P的大小就是v,w组成的平行四边形的面积，方向就是符合右手定则的方向。
对叉积的理解：
09：基变换
二维空间中的标准基向量 i, j（X轴和Y轴）。假设有另一组不同的基向量b1（2,1）/b2（-1,1）。b1/b2在i/j基向量的坐标是（2,1）/（-1,1），而在自己的基向量坐标中的是(1,0)和(0,1).
在i,j的基向量中，会用坐标(3,2)来表示向量[3,2]的转置，而在基向量b1/b2，中会用(5/3,1/3)来表示。
如何在坐标系之间对单个向量的描述进行相互转换？
将矩阵向量乘法理解为应用一个特定的线性变换。
这样就可以在i/j基坐标下用b1/b2的语言描述一个向量V了。
如何在坐标系之间对一个矩阵进行相互转换？
过程：基变换-->线性变换-->基变换的逆
这样就可以在b1/b2的坐标下用b1/b2的语言来描述相同的一个向量V了，结果就是用b1/b2语言来描述【-1,2】向左旋转90的结果。
用b1/b2的语言来描述线性变换的矩阵，输入是b1/b2语言的向量，输出也是b1/b2语言的向量。
暗示着一种数学上的转移作用，中间的矩阵代表的是一种常见的变换。
10：特征向量和特征值
经过线性变换后，向量仍然留在它们张成的空间中，这些向量就是拥有特殊性质的向量。
这些特殊的向量被称为变换的“特征向量”，每个特征向量都有一个所属的值，被称为“特征值”，即衡量特征向量在变换中拉伸或压缩比例的因子。
特征基
如果基向量都是特征向量，会发生什么？
处理对角元以外其他的元素均为0的举证被称为对角举证。此时，所有的基向量都是特征向量，矩阵的对角元就是它们所属的特征值。
一组基向量（同样是特征向量）构成的集合被称为一组“特征基”。能张成全空间的特征向量。
11：抽象向量空间
什么是向量？一个箭头、一组数字、或者是函数...
行列式和特征向量与所选的坐标系无关。
向量的相加---函数的相加
向量的数乘---函数的数乘
向量的线性变换---函数的线性变换
满足两个性质被称为线性的，这两个性质为“可加性”和“成比例”，线性变换保存向量相加和向量数乘运算。
用矩阵来表示多项式的求导过程：
向量空间
向量是一个抽象的概念，可以是任何满足线性变换的东西，将所有的这些东西集合起来就是向量空间。
12：克莱姆法则、集几何解释