哈密顿图

哈密顿图

一、定义概念

1.哈密顿通路

         设G=为一图（无向图或有向图）.G中经过每个顶点一次且仅一次的通路称作哈密顿通路

2.哈密顿回路

         G中经过每个顶点一次且仅一次的回路称作哈密顿回路

3.哈密顿图

        若G中存在哈密顿回路，则称它是哈密顿图

4.定义详解：

       （1）存在哈密顿通路（回路）的图一定是连通图；

       （2）哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路；

       （3）若G中存在哈密顿回路，则它一定存在哈密顿通路，反之不真

       （4）只有哈密顿通路，无哈密顿回路的图不交哈密顿图；

二、判定定理

注意：目前没有找到哈密顿图的简单的充要条件

       （1）设无向图G=为哈密顿图，V1是V的任意真子集，则

                                                                p(G-V1)<=|V1|

       其中，p(G-V1)为G中删除V1后的所得图的联通分支数目，|V1|为V1集合中包含的顶点个数。【哈密顿图存在的必要条件】

       推论：有割点的图一定不是哈密顿图

       设v是图中的割点，则p(G-v)>=2,由上述定理知G不是哈密顿图

       （2）设G是n(n>=3)阶无向简单图，若对于G中的每一对不相邻的顶点u,v,均有

        d(u)+d(v)>=n-1

       则G中存在哈密顿通路。又若

        d(u)+d(v)>=n

       则G中存在哈密顿回路，即G为哈密顿图。【哈密顿图存在的充分条件，不是必要条件】

       其中d(u),d(v)分别代表顶点u,v的度数。

       推论：设G是n(n>=3)阶无向简单图，若G的最小度>=n/2,则G是哈密顿图。

       由推论知，对于完全图Kn,当n>=3时，是哈密顿图，完全二部图Kr,s当r==s>=2时是哈密顿图。

       （3）在n(n>=2)阶有向图D=中，如果略去所有有向边的方向，所得无向图中含生成子图Kn,则D中存在哈密顿通路。

       推论：n(n>=3)阶有向完全图是哈密顿图。

1.常用方法判断是哈密顿图：

       （1）若能通过观察找出图G中的一条哈密顿回路，则G当然是哈密顿图。

       （2）若一个无向图G满足上述（2）中的条件，一个有向图D满足上述（3）的推论的条件，则G、D都是哈密顿图。

2.破坏哈密顿图存在的必要条件，判定不是哈密顿图：

       设n阶图G是哈密顿图，则G应该满足以下诸条件：

       （1）G必须是连通图；

       （2）G中的边数m必须大于等于顶点数n；

       （3）若G中存在2度顶点v,即d(v)=2,则与v关联的两条边ei,ej必须在G中的任何哈密顿回路上；

       （4）若G中存在每条哈密顿回路中出现的边，不能构成边数小于n的初级回路（圈）；

破坏以上诸条件中的一条，都不是哈密顿图。