裴蜀定理
裴蜀定理：
对于 a , b ∈ Z {a,b∈Z} a,b∈Z和 d = g c d ( a , b ) {d=gcd(a,b)} d=gcd(a,b),关于 x {x} x和 y {y} y满足丢番图方程:
a ∗ x + b ∗ y = c {~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a*x+b*y=c} a∗x+b∗y=c
其中 d ∣ c {d|c} d∣c.( x 与 y 是 未 知 数 {x与y是未知数} x与y是未知数)
推论：
a , b {a,b} a,b互质的充要条件之存在整数x,y使 a ∗ x + b ∗ y = 1. {a*x+b*y=1.} a∗x+b∗y=1.
裴蜀定理证明：
对于 a , b ∈ Z , a ∗ x + b ∗ y = g c d ( a , b ) {a,b∈Z, a*x+b*y=gcd(a,b)} a,b∈Z,a∗x+b∗y=gcd(a,b)的证明：
设 d = g c d ( a , b ) , 则 d ∣ a , d ∣ b , d ∣ ( a ∗ x , + b ∗ y ) . {d=gcd(a,b),则 d|a, d|b, d|(a*x,+b*y).} d=gcd(a,b),则d∣a,d∣b,d∣(a∗x,+b∗y).
设 s {s} s是 a ∗ x + b ∗ y {a*x+b*y} a∗x+b∗y线性组合集中最小的正元素，且对于
a ∗ x + b ∗ y = s , x , y ∈ Z ， 可 知 s ∈ Z {a*x+b*y=s, x,y∈Z，可知s∈Z} a∗x+b∗y=s,x,y∈Z，可知s∈Z
设 q = ⌊ a / s ⌋ {q=⌊a/s⌋} q=⌊a/s⌋(下取整)
r = a m o d s = a − s ∗ q = a − q ( a ∗ x + b ∗ y ) = a ∗ ( 1 − q ) ∗ x + b ∗ ( − q ) ∗ y { r=a~mod~s=a-s*q=a-q(a*x+b*y)=a*(1-q)*x+b*(-q)*y} r=a mod s=a−s∗q=a−q(a∗x+b∗y)=a∗(1−q)∗x+b∗(−q)∗y
因为 a m o d s = r {a~mod~s=r} a mod s=r所以 0 ≤ r < s {0≤r
已知 s {s} s是 a ∗ x + b ∗ y {a*x+b*y} a∗x+b∗y的线性集合集的最小正整数
所以 r = 0 {r=0} r=0,所以 s ∣ a {s|a} s∣a,同理 s ∣ b {s|b} s∣b
所以s是a,b的公倍数 s≤d
因为d|(ax+by)
又 s = a ∗ x + b ∗ y {s=a*x+b*y} s=a∗x+b∗y,所以 d ≤ s {d≤s} d≤s,
综上 d = s {d=s} d=s即 g c d ( a , b ) {gcd(a,b)} gcd(a,b)是 a ∗ x + b ∗ y {a*x+b*y} a∗x+b∗y组合集中最小正整数.
对于 a , b ∈ Z , a x + b y = c {a,b∈Z,ax+by=c} a,b∈Z,ax+by=c, 有整数解的条件是 g c d ( a , b ) ∣ c {gcd(a,b)|c} gcd(a,b)∣c的证明设,是 a ∗ x + b ∗ y = g c d ( a , b ) {a*x+b*y=gcd(a,b)} a∗x+b∗y=gcd(a,b)的整数解,则: x = c / g c d ( a , b ) , y = c / g c d ( a , b ) {x=c/gcd(a,b) ,y=c/gcd(a,b)} x=c/gcd(a,b),y=c/gcd(a,b).
转自https://blog.csdn.net/discreeter/article/details/69833579.