HDU1024 Max Sum Plus Plus（最大字段和）

Problem Description

Now I think you have got an AC in Ignatius.L’s “Max Sum” problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem.
Given a consecutive number sequence S1, S2, S3, S4 … Sx, … Sn (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ Sx ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = Si + … + Sj (1 ≤ i ≤ j ≤ n).
Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i1, j1) + sum(i2, j2) + sum(i3, j3) + … + sum(im, jm) maximal (ix ≤ iy ≤ jx or ix ≤ jy ≤ jx is not allowed).
But I`m lazy, I don’t want to write a special-judge module, so you don’t have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(ix, jx)(1 ≤ x ≤ m) instead.

Input

Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S1, S2, S3 … Sn.
Process to the end of file.

Output

Output the maximal summation described above in one line.

Sample Input

1 3 1 2 3
2 6 -1 4 -2 3 -2 3

Sample Output

6
8

题意

求长度为n，节数为m的最大字段和。（大家可以先看下这篇滚动数组的文章）

具体过程

通常动态规划，我们都是先考虑最后一个状态结果，看看能不能继续递推状态。

所以我们先根据题目，先推出最容易想到的一个状态。

我们考虑到j位置：

1、它要么属于当前循环组数中的第j个位置

2、要么就是新的一组中的头一个数字，但是前面的组中，我们需要考虑有多少个数字，i-1组的话，最少也要i-1个数字，最多可能有j-1个数字

简单画个图看看（假设此时i=2，j=4）

所以我们可以将最大字段和表示为dp[i][j]，i代表第i组，j代表第j个位置

简单版递推式：dp[i][j]=max(dp[i][j-1]+a[j],max(dp[i-1][k]+a[j])),k属于[i-1,j-1]

for(int i=1;i<=m;i++)							//最原始的dp
{
	for(int j=1;j<=n;j++)
	{
		mx=-1;
		for(int k=i-1;k<=j-1;k++)
			mx=max(mx,dp[i-1][k]+a[j]);			//找出i-1到j-1位置中最大的那个
		dp[i][j]=max(dp[i][j-1]+a[j],mx);		//再与dp[i-1][j-1]+a[j]做比较
	}
} 

因为题目范围是1e6，二维数组，加三重循环，很明显会MLE

不过最起码的思路是有了，代码也十分的简洁，我们可以想方法来具体优化一下空间、时间复杂度。

优化后的递推式：dp[j]=max(dp[j-1]+a[j],pre[j-1]+a[j]))

首先我们由式子dp[i][j]=max(dp[i][j-1]+a[j],max(dp[i-1][k]+a[j])),k属于[i-1,j-1]，

不管是前者还是后者，都是根据到j-1位置的最大字段和来计算的，

我们完全可以用一个一维dp来存贮到j位置的最大字段和即可，即表示为dp[j]的形式。

我们又会发现，我们这里其实需要的只是上一行的数据，也就是dp[i-1][j-1]最大字段和的数据，

我们完全可以在开一个pre数组来不断记录上一行的数据，再用mx记录下到j位置的最大字段和，

一旦使用完pre[j-1]中的数据，我们就用mx数据将其更新，达到滚动数组的效果

代码 + 相关注释

#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+10;
const ll inf = 0x3f3f3f3f;

ll a[maxn],dp[maxn],pre[maxn],mx;

int main()
{
	ll n,m;
	while(scanf("%lld %lld",&m,&n)!=EOF)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)							//init
		{
			scanf("%lld",&a[i]);
			dp[i]=0;
			pre[i]=0;
		}
		for(int i=1;i<=m;i++)							//优化后的dp 
		{
			mx=-inf;
			for(int j=i;j<=n;j++)						//i组的话，至少需要i个数字
			{ 
				dp[j]=max(dp[j-1]+a[j],pre[j-1]+a[j]);	//调用pre，此时的pre[j-1]存贮的数据是max(dp[i-1][x],x属于[i-1,j-1])，
				pre[j-1]=mx;							//我们再将pre[j-1]更新为mx中存储的到j-1位置的最大字段和
				mx=max(mx,dp[j]);						//再将mx更新到j位置时最大的字段和
			}
		}
		printf("%lld\n",mx);							//因为dp[j]表示加上j位置时得到的最大字段和，而题意时是求m个字段的最大字段和
														//所以我们要判断的其实是max(dp[i][k]),k属于[i,j],故输出的是mx而不是dp[j]
	}
	return 0;	
}