中等数学2015年增刊模拟题（20）——0

已知正奇数 $n$ 满足

$$n\mid \sum _{k=1}^n{k}^{2014}$$

证明：

$$n^2\mid \sum _{k=1}^n{k}^{2015}$$

证：
一般化，将2015改为不小于3的奇数 $m$.
下面证明：若

$$n\mid \sum _{k=1}^n{k}^{m-1}$$

则

$$n^2\mid \sum _{k=1}^n{k}^m$$

为此，设
$$\sum _{k=1}^n{k}^{m-1}=nq.$$
由
$$\sum _{k=1}^n{k}^m=\sum _{k=0}^n{k}^m=\sum _{k=0}^n(n-k{)}^m$$
$$=\sum _{k=0}^n(n^m-C_m^1{n}^{m-1}k+C_m^2{n}^{m-2}{k}^2-\cdots -C_m^{m-2}{n}^2{k}^{m-2}+C_m^{m-1}n{k}^{m-1}-k^m)$$
$$=n^{2}S+mn\sum _{k=0}^n{k}^{m-1}-\sum _{k=0}^n{k}^m$$
$$=n^{2}S+n^{2}mq-\sum _{k=0}^n{k}^m$$

则$$2\sum _{k=1}^n{k}^m=n^2(S+nq).$$
于是，$$n^2\mid 2\sum _{k=1}^n{k}^m.$$
而 $n$ 为奇数，因此 $$n^2\mid \sum _{k=1}^n{k}^m.$$